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des Sciences de Saint-Pétersbourg. 



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Minimum, sondern inu' ein Stillstand voiiFeintreten, 

 wenu B beliebig positiv oder negativ sein kOunte. Da 

 aber die vorgeschriebene Begrenzung nm- einen posi- 

 tiven Werth von S gestattet, aiich ?^ positiv ist, so 

 zeigt die Formel, dass fiir S = F in der That den 

 grôssten mit den Bedingungen dev Aiifgabe vertrâg- 

 liclien Werth erhillt. 



Fiir den "Winkelraum zwischen zwei grôssten Krei- 

 seii auf der Kugel kommt dieRechnungdaraufzuriick, 



ans den Gleichungen 



iL = 



p sin s sin a 



sin p 



, ces p 



sm a sin s 



die Unbekannten AB = s, < BMD = (3 zu finden. 

 (Fig. 5.) 



Soll ein gesclilossener Faden innerhalb einer Kii- 

 gelzone zwischen zwei paralleleu Ebenen so angebracht 

 werden, dass er den muglicli grôssten Raum nmfasse, 

 so gebeu die obigenFormeln in diesemFalIe t|;=t|j'=: 



sin V — sin v' 



0, tgl = 0, fgl- 



cosi; -+- cos V 



-, oder l = ■ 



«'; um ^«zutinden,hatman- L= {cosv-t-cosv')u-t-T. sin 

 — 2— , wobei vorausgesetzt ist, dass L grosser ist als 

 der Umfang des beide Grenzkreise beriihrenden Krei- 



r — v' 



ses, aiso L> ti: sin 



Die Curve des Fadens be- 



steht demnach auszweiauseinandergeschobenen Halb- 

 kreisen und den dazwischen befindlichen Bogen der 

 beiden Grenzkreise. 



Es ist liier der Ort, iiber die Curven kurzesten 

 Umrings auf Umdrehungsfliiclien einige Bemerknngen 

 einzuschalten , wobei ich micli auf eine dariiber im 

 21. Bande diescr akademisclien Schriften erschienene 

 Abliandlung beziehe. Unterwirft man dièse Curven 

 auf âhnliche Weise, wie so eben bei der Kugel ge- 

 schelien ist, der Bedingung die Grenzkreise einer 

 Zone nicht zu iibersclireiten, so crhiilt man bei hin- 

 reicliend grossem L zwei gleiclie und sj'mmetrisch auf 

 beiden Seiten einer Axe liegende Bogen , welclie ich 

 zur Unterscheidung einstweilcn Halbrunde uenuenwill 

 und welclie sicli an die lîrenzkreise tangential an- 

 schliessen. Die zwischen beiden Halbrunden liegenden 

 Bogeu der Grenzkreise (ich nenne sic FJrgiinzungsbo- 

 gen) gehoren auf der Kugel zu gleichen Drehungs- 

 winkeln und verschwinden beide zugleich, so dass fiir 

 M=:0 (s. oben) ein voiler Kreis entsteht; hingegen auf 

 einer beliebigen Umdrehuiigsflache siiid dièse Dre- 



hungswinkel iingleich, so dass, wenn die beiden Halb- 

 runde auf der Seite des kleineren Drehuiigswinkels, 

 von der Axe aus gerechnet, an einanander geschoben 

 werden , auf der anderen Seite die Curve sich nicht 

 schliesst, sondern, wenn eine geschlossene Curve ver- 

 langt wird, noch ein Erganzungsbogen hinzugenommen 

 werden mu'ss. 



Einige anderweitige Bemerkungen iiber die Curven 

 kiirzesten Umrings môchte ich bei dieser Gelegen- 

 lieit noch hinzufiigen , obgleich sie mit deiu Vorstehen- 

 den nicht in naher Beziehung stehen. In der vorhin 

 genannten Abhandlung bin ich von dem allgemeinen 

 Ausdrucke fur den Kriimmungshalbmesser der abge- 

 wickelten Curve ausgegangen, nachdem ich die grosse 

 Vereinfachung bemerkt hatte, welclie dieser Ausdruck 

 durch die Annahme F = und E= G erhàlt. Wenn 

 es aber darauf ankommt, môglichst leicht zu der eiu- 

 fachsten Form derDifferentialgleichung dieser Curven 

 zu gelangen, so geschieht dies durch die Variation 

 des Ausdrucks 



jjEdpdq -t- hjVE {df -+- dq% 

 welche sofort die gesuchte Gleichung ergiebt, mimlich : 



Edp 



f = d{VEûnâ) — 



dVE 

 dq 



da 



wo da cos â = dj), da sin = dq gesetzt ist. 



Zu derselben Art von Curven fiihrt auch folgendc 

 mechanische Aufgabe : 



Auf einer krummen Fliiche werde ein Faden von 

 bestimmter Lange, etwa zwischen zwei festen End- 

 puncten, durch eine iiberall in der Beriihrungsebene 

 wirkende auf den Faden senkrechte Kraft von der 

 Intensitât P gespannt. 



Es sei N die Normale derFlàche, Tdie Tangente, 

 R der Kriimmungshalbmesser in einem Pnnkte der 

 Curve. Da die Kraft Pds senkrecht auf iV und T steht, 

 so sind N, T, P drei rechtwinklige Axen, deren 

 Bichtungszahlen (cosinus) folgende Tafel anzeigt: 



y 



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^■- 



