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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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ddt. — Pp/ls -+- In^ds (i = 1, 2, 3.) 



oder weil bekanntlich , wenn ds = Bda gesetzt wird, 

 dt^ = r/lG, also r.ds = Rdf^ ist, so hat man: 



âr, = R {Pp, ■+- In,), 



daher durch Multiplication mit p^ uud Summation fiir 



' ^ ^' ^' ^ 6 cos i = RV. 



Wenn also P constant ist , so folgt die belcannte 

 Gleichung der Curve, naralicli 



cosi P „„„„i 



-^=- = const. 



Fiir den Druck X erhâlt man 



â sin i = RI oder X = Ptgi. 



Nach der oben erwiibnten Abhandlung gilt fiir die 

 Curve auf eiuer Umdrehungsflaclie folgende , ihre 

 Haupteigenschaft ausdriickende Gleiclimig: 



Z ist der Fliicheninhalt der Zone zwischen den zu s 

 und s' gehorigen Querschnitten. Um dièse Eigen- 

 schaft in einer môgliclist anscbauliclien Weise aus- 

 zuspreclicn, wcrdc in einem Puukte s der Cîurve die 

 Beriilirungsebene an die Flâche gelegt, der Umfang 

 des entsprechenden Querscbnitts 2Tzr auf dièse Ebene, 

 vora Punkte s ausgeliend , abgewickelt und auf die 

 durci) s gelegte Tangente der Curve projicirt, so ist 

 dièse Projection (= 2t:>- sin û) der Zone Z proportional. 



Ueber das Polarsystem einer Curve dritter Ordnung. 

 Von E. Bonsdorff. (Lu le 23 août 1877.) 



Eine Curve dritter Ordnung wird im Allgemeinen 

 durcb ibr Polarsystem bestimmt, d. b. man kann iiber- 

 haupt bloss cine Curve dritter Ordnung angeben, de- 

 ren coniscbe Polaren mit einem durcb drei beliebig 

 gewàlilte Leitcurven bestimmten Netze zusammen- 

 fallen. Dièses Problem, das zu wichtigen Beziehungen 

 zwiscben den ternâren kubisclien und simultanen 

 Formen aus dem ternâren quadratiscben Formsysteme 

 fuhrt, ist vollstândig unter andern von Cremona') 



1) Cremona. Eiuleitung in cine Geometrischc Tlipnrie der 

 ohenen Curvcn, ins Deutsche iibertragen von Cnrtzp. 



und H ermite -) gelost. In Matb. Aunalen VI bat 

 Rosanes^) eine élégante Losung des genannten 

 Problems gegeben, indem er sich der entsprechen- 

 den quadratiscben ternâren Formen bedient. 



Im Folgenden werden wir, von der fiir die Théo- 

 rie der kubisclien Formen wichtigen Covariante 

 (abc)a^'h "c^ ausgebend, eine einfacbe Losung dièses 

 Problems geben. Dièse Covariante transformiren wir 

 durch Einfiibrung von Liniecoordinaten zu einem Aus- 

 drucke, in dem nur Coefiicienten der Hesse'scheu und 

 Cayley'scben Formen vorkommen. Nach dem folgt 

 eine Bestimmuug von der Gleichung der gesuchten 

 Curve dritter Ordnung. Dièse Bestimmuug beruht 

 bauptsachlicb auf den von Rosanes in der friiber ge- 

 nannten Abhandlung gegebenen Metboden. Im dritten 

 § wollen wir einige Specialfalle und im Zusaramenbang 

 damit eine Ableitung der Criterien fiir die Singulari- 

 taten der Curven dritter Ordnung anfiibren. 



§1- 



Wir bezeichnen die ternâre kubische Fundamental- 

 form symbolisch mit 



"'x — "x — ^x ' 

 und beabsichtigcu die Covariante 



f/=(a6c)a,W 



:i) 



zu cntwickeln. Zu dem Zwecke gelien wir von dem 

 Ausdrucke 



<p=:(a&c)a^%c^(6^c,-&/^) (2) 



aus. Durch Einfiihruug von den Liniecoordinaten 

 n = (yz) *) wird 9 gleich 



{alc){hcu)aJhyCy (3) 



Die Form 9 steht in einer einfachon Beziehung zu f/, 

 dcnn bildct man die Polaren von 9 in Bezug auf z, 

 wenn y allein als variabel betrachtet wird, findet man 

 dièse Polare gleich 



Wir haben somit (3) zu transformiren, in dem erhal- 

 tenen Ausdrucke u durcb (yz) zu ersetzen und die Po- 

 lare in Bezug auf z zu nehmen, wenn y allein variirt. 



2) Borchart. Journal, Band 57, pag. 371. 



?<) Rosanes. Ueber Système von Kegelsclinitten. 



4) Man liât u^—i/^^^—l/î'^';^ "2=2/3^1— 2/i'^:i '""' ^2 = 1/1^2 — Vî^i- 



