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Bnlletin de l'j%cad<^inie Impériale 



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Zunâclist fuliren wir die Zwischenforra 



ein. Durcli Polarbilduug erhàlt man 



{bcu){icv)byCy=u^v^d^^ 



und dadurch wird 



9 = a^u^aJOy'. 



.(4) 



Deu Ausdruck (4) wollen wir in einer Reihe nach Po- 

 laren entwickeln. Zu dem Zwecke bedieiien wir uns 

 der Formel 



f^x "y Vx ^x 'yiiim-t-n^x "x 'yin 



y -y^^^ 



' rm+n^TA'x ''x ) m—^y'x^y ' y'^x' 



.(5) 



VIO y'' die h : te Polare inBezug a.uîy bezeiclmet, wenn 

 X allein als Variabel betrachtet wird. Nach dieser 

 Formel wird 



lK^-%^xf} 



w und werden folgende Abkiirzungen 



Setzt man {xy) 

 eingefuhrt 



wird 





9: 



'i'^Sf- 



.(6) 



Nach dem Polarisiren ist [xy) anstatt tv zu setzon. 



Die Ausdriicke fiir 4", 4^' ""'1 'V ^inf^ zu finden. In 

 den urspriinglichen Symbolen ausgedriickt ist 



Da a, 6 und c gleichwerthigo Symbole sind, kunnen 

 dieselben vertausclit werden und somit wird 



i}i = ~ {abc)aj)^cj^ (h cu)a^— («m)6^-i- {ahu)cj^y 



Der in der Klammei- enthaltcnc Tlioil ist nacli einer 

 bekannten Identitat gleich (abcp^. Dalier wird 



Bezeichnet man die Hesse'sclie Covarianto mit aj; 

 wird also 



^ = l%\ (7) 



Wir gehen nun zu der Transformation von ^' tiber. 

 In den urspriinglichen Symbolen ausgedriickt ist 



i^'=:{abc){bcu){acw)aj)^ (8) 



Indem in (8) die Symbole a und b vertausclit werden, 

 kann man schreiben 



<]j' = i (abc)aj)^ I {bŒ){aœ) — {acu){bcw)\ 



oder wenn man darauf Riicksicht nimmt, dass 



ibcii) (acw) — [acu) (bcw) = {abc) (ucw), 



bekommt man 



^' = l{abcf{um)aj)^. 



Wird in dem durch Polarisiren enthaltonen Ausdrucke 



(wu) anstatt y gesetzt, findet man, dass 



«]>' = 2 a.J {awu) (9) 



ScJdiesslich werden wir ^" in Symbolen von a aus- 

 driicken. Deswegen bilden wir die Polare von 



^x\'^ (&cm)'&^c^ 

 in Bczug auf eine Qnantitat v, wenn ?/ allein als Va- 

 riabel betrachtet wird und sctzen in dem crhaltenen 

 Ausdrucke {aw) anstatt x sowic auch a anstatt v. Dann 



finden wir „ ,.,.■■ ^ , , ,mâ\ 



4."= (abc){bcu){ahv){acw) (10) 



Das redite Glied in (10) wird erhalten, wenn ans dor 

 Cayley'schen Form 



uj^= {abc) (abn) (acu) {bat) ' ' '' 



die zweitc Polare in Bezug auf îc, wenn u der Variable 

 ist, gebildet wird. Alsdann <'rhalt man 



V=v<' (1*) 



Uni 9 zu finden, bat man nach (6) die zweite und 

 erste Polare von resp. 4' auch ^ zu bilden. Es wird 

 dann s." 



^2,2= ^MxV% -•" VV*:r) (l^) 



und 



fj,=^».r*î/ (<*'*«*) • • • • (*^) 



Folglich wird 



théorie 



5) Clebsch. Ueber eine Fundamoiitalaufgabe der luvari;iiiten- ! m=-(a 'a. tl ~\-(t "a 11 )-+-\o- » (a.lVU)-\-r^UM^ 



j Y ij^ X y y y X X' 2 X y^ •' rf •> * 



