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des Sciences de Saint -Pëfersbourgf. 



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Wenn {xy) austatt w gesetzt wird, erthàlt man endlich 



9 = l a/«x«^— l V« A-^- 3 %i^^'''jf- •••(14) 



Uni Z7zu erlialten, miissen mv in (14) (ye) anstatt 

 u setzeii. Alsdann wird zuerst 



9 = § ^y%i^y^) -+- 1 (sy^) {s^yf (15) 



Polarisirt man (15) in Bezug auf ^, wenn y der Va- 

 riable ist, erhalt man % U. Daher wird 



l ^= I %%'^z i'^y^) ^ l (s^y) isx2) (sy^) 



uud folglicli 



^=î"'x"'y'^zi'^y^)'*-l(^^yHsX^)isy2) (16) 



Die betreffendc Covariante {ahc)ajb^^^cj^ cntliàlt, wie 

 man ans (16) sieht, nurdie Coefficieutcn von den ï'or- 

 men aj und m/ 



§2. 



Wir wollen nun die Curve dritter Ordnung licrlei- 

 ten , deren Polarsystcm mit dem durcli drei beliebig 

 gewâhlte Kegelschnitten aj, h^- und c^- bestimmten 

 Netze identisch ist. Mit diesen Kegelschnitten alsLeit- 

 curven erhalt mau das Netz 



'«V-»- ^'V-*~ i^V== 0. (17) 



in welcliem jeder der zweifaeh unendlich vielen Kegel- 

 sclmitt(; durcb zwei Punkte in derEbene bestimmt ist. 

 In dem Netze gibt es eine einfacli unendiiche Anzalil 

 zerfallender Kegelsrlniitte, deren Doppelpunkte auf 

 einer Curve dritter Ordnung licgen. Dièse (Uirve wird 

 erhaltcn, indem man bildet die Gleichungeu 



welche die Bedingung dafiir ausmachen, dass x ein 

 Doppelpunkt sei, und zwischen denselben x, X und [jl 

 eliminirt. Man erhalt alsdann die sogenannte Jacobi'- 

 sche Covariante {abc) aJt>jPj;. Wenn ?/j, y., und y^ aus 

 den Gleichungen 



aa,= 0, hh„= o, €■.€„= 



X y ' X y ' X y 



eliminirt werden , sielit man , dass die Résultante eben 

 die Jacobi'sche Form ist. Dièse letztere ist somit auch 

 der Ort fiir die Punkte, die in Bezug auf das Netz 



dieselben hai-monischen Mitteipunkte haben, sowie 

 auch der Ort fiir dièse Mitteipunkte. 



Der Ort fiir die Geraden , welclie conjugirte Punkte 

 auf der Jacobi'schen Curve verbinden, ist eine Curve 

 dritter Classe , deren Gleichung man erhalt, wenn man 

 bildet die Gleichungen fiir die Schnittpunkte x -+- çy 

 von aj, bj und c^-mit einer Geraden , die zwei conjugirte 

 Pôle X und y auf der Jacobi'schen Curve verbindet. 

 Die Sciinittpunkt-Gleichungen sind 



K- 



?%(^y-*-f(Ç=^ 



^-9hK 



Sollen die Schnittpunkte in Involution sein , rauss man 

 haben 



«^ Vy %- 



^'x ^x^y %' 



= 0. 



Setzt man u=:{xy), erhiilt man den gesuchten Ort oder 

 die sogenannte Hermite'sche Curve 



(abn) (acti) (bcu) = 0. 



Weil man leicht ersieht, ist aucii die Hei'mite'sche 

 (iurve der Ort fur die Geraden, in welche die einzel- 

 nen Curven des Netzes zerfallen. 



Weil sowohl die Jacobi'sche aïs auch die Hermite'- 

 sciie Curve unveràndort bleiben, von welchen Kegel- 

 scluiittcn des Netzes man auch ausgehen mag, d. h. 

 weil man anstatt à"^, &^-und c/ lineare Verbinduugen 

 von diesen setzen darf, sind beide Formen Combinan- 

 ten des Netzes. 



Jede Curve in (17) ist durcb zwei ihrer Punkte 

 vollkommen bestimmt. Um die Gleichung von der 

 Curve des Netzes, die durch die Punkte y auch ^^ geht, 

 zu erhalten, brandit man nur x, À und [x aus den 

 Gleichungen 







^%- ■ 



X 



VM^y 



Y.a, 



^v- 



K„ 



\b^'-+-^c^-—0 



zu elimiuiren. Betrachtet man y und z als Parameter, 

 wird eine . beliebige (Jurve des Netzes reprâsentirt 

 durch 



