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Bulletin de rAcadëmlc Impériale 



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(18) 



Angenommeu , dass aj =b^^=cj eine Curve dritter 

 OrdDung darstellt, mid beachtet man dabei, dass die 

 conischen Polaren zu dcn Spitzen des Fuiidamental- 

 dreiecks 



a,aj= h^b^'= c,c,^-= 0, a/V^ W= c^J" = 







iind ajij=hj)j^=cx ^-. 



a X Z X Sx 



siud, erhâlt man die conischen Polaren, die durcli y und 

 2 geht, wenn in (18) anstatt aj, bj^, c^", resp. a^aj, 

 ^a^i") CgC^" gesetzt werden. Eine beliebige conische 

 Polare zu der Fundamentalcurve uj ist somit durcb 



{abc}aJby-c/=0 (19) 



reprasentirt. Da die Hesse'scbe Curve {abcfa^b^c^ 

 in Bezug auf das Netz (19) der conischen Polaren 

 dieselben Eigenscbaften wie die Jacobi'sche Curve 

 {abc)aj)jc^a\ denKegelschnitten (18) bat, inuss, falls 

 das Netz (17)dasPolarsystem einer Curve dritter Ord- 

 nung bilden soll, die Hesse'scbe Curve der letztereu 

 identiscb mit der Jacobi'scben (Juive des bekannten 

 Netzes sein. Aus denselben Griiuden muss die Cay- 

 1 ey'sche Curve von der gesuchten Curve dritter Ordnung 

 mit der Hermite'scben Curve des Netzes zusammcn- 

 fallen. Die conischen Polaren der gesuchten Curve 

 kônnen dabcr nacb (16) durcb 



-*^«;/^i (■^■:f/^.) -+- (S^y) (^'^^i (*'2/^) = »> (20) 



dargestellt werden. In (20) bezeichnet x die laufende 

 Coordinate und y und z die Parameter. Ferner sind 



%'={abc)aj)^c.^ und u^'={abu){acu){bcu), 



auf das gegebene Netz bezogen. 



Um die Gleichung der gesuchten Curve zu tinden, 

 bedienen wir uns der Identitàt 



s 



«/«xM,= 3'**x 



.(21) 



Das linke Glied in (21) wird gleich NuU, wenn u^=o 

 d. h. wenn x ein Punkt auf derGeraden u^. ist, deren 

 Coordinaten m,, u., und «3 sind. Die Form «/«^«j entstebt 

 aus a/iyi wenn >j durcb s ersetzt und das Résultat mit 

 M, multiplicirt wii'd. Wenn dahcr in (20) s' anstatt y 



6) Math. Auuiil. Baud VI, pat'. 447. 



und s" anstatt z gesetzt und der erbaltene Ausdruck 

 durcb ;'j/Wj'/ multiplicirt wird, erhalt man die conische 

 Polare, deren Pol auf den beiden Geraden Vj. und w^ 

 liegt. 



Dièse Gleichung ist also 



2a.^a^o.^\ss'x)v ^w ^,-*-[ss' s") {ss'x) {ss"x)v^,w^,,=0 .(22) 



Indem man beachtet, dass s, s' und s" gleichwerthige 

 Symbole sind, kann die obige Gleichung 



'^x'^A'(ss'^)(^s«^.' — ■^.'«'s) 



-+- 2 (Ss's") [ss'x) {SS"X) {V^,IV^„ — 'i\„W^,} = 



gescbrieben werden. 



Setzt man {vw)=t und nimmt darauf Rilcksicht, dass 



tiudet sich die Gleichung der conischen Polare des 

 Punktes t 



^jc'^s^'s' (S^'*) (SS'0-+- o tss's") {Ss'x){ss"x){s's"t)=. 0. . (23) 



Die conische Polare geht nur dann durcb ihren Pol, 

 wenn der letztere ein Punkt der Fundamentalcurve ist. 

 "Wird daher in (23) x anstatt / gesetzt, erbiiltmandie 

 Gleichung der gesuchten Curve dritter Ordnung. 

 Die Cui've dritter Ordnung, deren Polarsystem mit 

 dem gegebenen Netzex«^--+-X?^_j,--i-[j.c^- identiscb ist, 

 bat somit die Gleichung 



2 {ss'xf a^a^a^, -v- [ss's") [ss'x) {ss"x) (s's''.^) == 0, ... (24) 



wo, wie friiher gesagt, a^.^undM/ resp. die Jacobi'sche 

 undHermite'scbe Form zu den quadratischen Formen 

 (l'Jfi^' 'iiid c," darstellen. 



X ^ X X 



§3. 



Scbliesslicb wollen wir noch einige der wichtigsten 

 Specialfallc betrachton. Wir nebmen zuerst an, dass 

 es in dem Netze eine Doppelgerade vJ gibt. Wenn 

 y^" und zwci beliebige Curven aJ und bj als Leitcur- 

 ven betrachtet werden, wird die Jacobi'sche Curve 



iabv}a^b^v^=0 (25) 



Die Gerade v^ ist in diesem Fallc ein Tbeil der Jaco- 

 bi'scben Curve. Wenn es eine Curve dritter Ordnung 

 gibt, deren Polarsystem von dem gegebenen Netze 

 gebildet ist, muss v^ auch ein Tbeil ihrer Hesse'schen 

 Curve sein. Die conischen Polaren der Punkte auf v,. 



