•i 



417 



de») $îicieuc*e)>» de Saint- Pétersbour^. 



4IS 



besteheii aus Geradenpaaren , weil v^ ein Theil der 

 Hesse'schen Ciirve ist; dieselben bilden auch ein 

 Biischel. Dalier miissen die conischen Polaren der 

 Punkte aiif v^ ein involutorisches Stralilenbûscliel bil- 

 den. In einem solclieii gibt es im Allgemeinen zwei 

 versdiiedene Doppclstrablen. Hierausfolgt, dasswenn 

 es ira Netze eine Doppelgerade gibt, sich zwei andere 

 tinden miissen, damit das Netz das Polarsystem einer 

 Curve dritter Ordnung bilden kônne. Dièse letzteren 

 miissen selbstverstaudlicli ancli Tbeile der Hesse'schen 

 Curve bilden, die somit ein Dreieck ist. Bezeichnet 

 iv,J' eine zweite Doppelgerade des Polarsysteras, so ist 

 die Gleichung der Hesse'schen Curve 



Da (avw)a die Résultante der Glcicliungen 



«A^'^'^^ 



0, Wy=0 



ist, tindet luan, dass, weun v^, und iv^ zwei Seiten der 

 Hesse'schen Curve sind, die dritte die geradc Polarc 

 des Puuktes {vw) in Bezug auf eine Curve aj^ des Netzes 

 ist. Deshalb sind aile Kegelschnitte des Netzes dem aus 

 den drei Doppelgeraden gebildeten Dreiecke conjugirt. 

 In (25) baben wir gefunden, dass, wenn v^, eine 

 Doppelgerade des Netzes ist, das Product der beiden 

 andern Doppelstrahlen {abv) aj)^ wird. In der That 

 sind uach dem Clebsch'scben Ubertragungsprincip 

 (abv)aj)^ Doppelstrahlen einer Involution, deun die 

 bimire Form {ttl>)aj>^ ist die Gleichung der Doppel- 

 punkte, in der von den Punktpaareu a^ und h^ gebil- 

 deten Involution. Beachtet man, dass (ahiAa b die 

 Résultante der Gleichungen 



ist, so sieht man, dass die genannte Zwiscbeuform der 

 Ort der harmonischen Mittelpunkte von den Punkten 

 derGeraden v^ in Bezug auf zwei Kegelschnitte aj' und 

 6 - ist. Diesen Ort bilden somit die l)eiden anderen 

 Doppelgeraden. 



Bezeichnen wir mit f die Fundamentalcurve, mit A 

 derenHesse'sche Curve und lassen wir A^ die Hesse'- 

 sche Covariante der Hesse'schen Covarianten bedeu- 

 ten, so hat man ^ = — f -A'). 



In dem oben betrachteten Falle miissen die erste und 

 zweite Hesse'sche Curve identisch sein, d. h. man hat 



7) Aus dem Werthe fQr A^x in Math. Annal. VI, pag. 463, wenn 

 x = 0, X= 1 gesetzt wird. 

 Tome XXIV. 



S = o. Die Bedingung, dass in dem Netze conischcr 

 Polaren Doppelstrahlen vorkommen , ist daher das 

 Verschwinden der Aronhold'scheu Invariante S. Dièse 

 Bedingung findetsich in den Coefficienten der Jacob i- 

 schen und Hermite'schen Formen ausgedriickt, wen 

 in (24) anstatt x ein Symbol s gesetzt wird, d. h. die 

 Bedingung ist 



2 iss's"f a.^a^,a^.,-+-{ss's") {ss's'") {ss"s"') {s's"s"') = . (20) 



Wir woUen nuu annehraen, dass die beiden Doppel- 

 strahlen der oben betrachteten Involution zusammen- 

 fallen. Aile conischen Polaren von Punkten der Gera- 

 den haben in diesem Falle eiuen gcmeiuschaftlichen 

 Strahl. Ausser den Doppelgeraden vj gibt es in dem 

 Polarsystem ein Paar zusaramenfalleuder Doppelstrah- 

 len 'w ". Die conischen Polaren von Punkten anî iv 



•' X 



gehen, wie leiclit zu linden ist, durcli den Puukt (vw). 

 Die conischen Polaren der Punkte auf v^. bestehen aus 

 iv^ undGeraden, welchesichin einem gewissen Punkte 

 auf tv^ schneiden. Daher ist die couische Polare von 

 dem Punkte [vw) das Paar der Doppelstrahlen tv^. 

 Die Fundamentalcurve dritter Ordnung geht somit 

 durcb den Punkt {vw). Die Hesse'sche Curve besteht 

 aus v^ und w^. Weil auch in diesem Falle die verschie- 

 denen Curven des Netzes dem aus den Gcraden v , w 



X' X 



und w^p gebildeten Dreiecke conjugirt sind, folgt daraus, 

 dass aile Curven des Netzes to^ in dem Punkte [vw) 

 sich beriihren miissen. Die Fundamentalcurve hat als- 

 dann' in {viv) eine Singularitat und da ihre couische 

 Polare eine Doppelgerade ist, muss (vw) ein Riick- 

 kehrpunkt und w^ die Riickkehrtangente sein. 



Wie bekannt, ist die Bedingung fijr einen Doppel- 

 punkt .„ „, ,s'3 



In dem oben erwahnteu Falle ist auch S ~0, daher 

 muss auch T=0. Man findet somit das bekannte 

 Critérium fiir einen Riickkehrpunkt 6'= 0, T= 0. 



Als ein noch spociellcrer Fall kann es vorkommen, 

 dass die beiden Doppelstrahlen in der betrachteten 

 Involution mit der Geraden v^ zusammenfallen. Als- 

 dann ist die Hesse'sche Curve v^ dreifach genommen, 

 d. h. die Hesse'sche Covariante ist der Cubus einer 

 linearen Form. Da die conischen Polaren der Punkte 

 auf V ^ aus der Geraden v^ und in einem Punkt /• auf v 

 sich schneidenden Geraden bestehen , muss v ein Theil 



' X 



8) Siehe: Matli. Annal. VI, pag. 472. 



27 



