437 



des ^Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



43S 



Note sur le calcul approximatif des rentes viagères. 

 Par V. Bouniakowsky. (Lu le 8 novembre 1877.) 



La question de simplifier les calculs laborieux 

 qu'exige la construction des tarifs de rentes viagères, 

 surtout de ceux qui se rapportent aux groupes do 

 plusieurs tètes, a beaucoup occupé les calculateurs. 

 Vu l'impossibilité manifeste d'exprimer par yine for- 

 mule analytique la loi de mortalité, il n'a pu être 

 question que de cherclier une méthode propre à dé- 

 terminer les valeurs des annuités viagères avec le 

 moins de calcul possible et, en même temps, avec une 

 approximation suffisante. Plusieurs procédés ont été 

 proposés à cet effet: tous supposent, explicitement ou 

 implicitement, la loi de la mortalité exprimée par des 

 formules empiriques plus ou moins conformes aux 

 observations. Telles sont, par exemple, les formules 

 de Moivre, de Lamhert et d'autres, plus récentes, fon- 

 dées sur l'interpolation parabolique. Le procédé, sans 

 contredit le plus simple, est basé sur VhypothèsQ de 

 Moivre qui consiste, comme on sait, en ce que les dê- 

 croissements de la vie sont en progression arithmétique; 

 cette supposition enti'aîne la conséquence rigoureuse 

 que la durée de la vie moyenne d^une tête est égale à la 

 moitié de son complément de vie. En partant de cette 

 liypotlièse on arrive à des formules pour le calcul des 

 rentes viagères, calculs notablement plus simples que 

 ceux qu'exige l'emploi direct d'un nombre plus ou 

 moins considérable d'élémens fournis par les tables 

 de mortalité. Malheureusement les résultats, auxquels 

 on arrive par cette voie, n'ont pas le degré d'approxi- 

 mation désirable, et cela par la raison que l'Iiypotlièse 

 de la décroissance de la vie en progression aritlimé- 

 tique s'éloigne sensiblement de la réalité, surtout pour 

 les bas âges et pour la vieillesse. Aussi, les tarifs de 

 rentes viagères sur une tête et sur deux têtes réunies, 

 calculés d'après r]iypot]u"'Sc de Moivre, ne sont plus 

 d'usage aujourd'hui. Ceux, assez nombreux, dont on 

 se sert actuellement, sont tous fondés sur le calcul 

 exact des éléments contenus dans diverses tables de 

 mortalité, ce qui fait qu'on a rarement recours aux 

 procédés d'approximation. Néanmoins, il n'est pas 

 douteux que si l'on possédait une méthode facile qui 

 conduisît à calculer la valeur d'une annuité viagère 

 avec une précision suffisante, elle pourrait être uti- 

 lisée. Supposons, en effet, qu'il s'agit de fonder une 



caisse de rentes viagères au profit d'une classe d'in- 

 dividus dont la position spéciale nécessite soit la mo- 

 dification de telle ou telle table de mortalité, soit 

 même la création d'une nouvelle. Dans cette occu- 

 rence, avant d'entreprendre, de prime abord, des cal- 

 culs très prolixes qu'exigerait la méthode ordinaire, 

 et dont les résultats pourraient ne conduire qu'à la 

 preuve de l'insuffisance des ressources matérielles dont 

 on dispose, il serait certainement utile de parvenir à 

 la même conclusion avec beaucoup moins de travail, 

 et d'aviser, eu conséquence, aux moyens de modifiei- 

 le plan primitif. Outre cet avantage, il y aurait en- 

 core celui que l'approximation, poussée à un certain 

 degré, pourrait être de quelque utilité pour le con- 

 trôle des résultats obtenus par les calculs pénibles de 

 la méthode directe. — Ce double but, comme j'ai lieu 

 de penser, pourra être atteint par le procédé qui fait 

 l'objet de cette Note, et qui, quoique très simple, n'a 

 pas encore été employé à ma connaissance. 



Le procédé que je propose est fondé sur l'emploi 

 de l'élément bien connu de la durée moyenne de la vie 

 et d'un petit nombre d'âges intercalaires, lorsque cette 

 moyenne est un peu forte. A l'aide de quelques va- 

 leurs successives soit de cet élément, soit de celles 

 des âges intercalaires, et d'autant d'indications plus 

 une de la table de mortalité que Ton emploie, on ar- 

 rive promptement, au moyen des tables existantes, à 

 une valeur très approchée de l'annuité cherchée pour 

 un taux d'intérêt quelconque. Notre supposition, bien 

 plausible, et qui d'ailleurs se trouve suffisamment con- 

 firmée par les tables de mortalité, consiste en ce que 

 nous admettons que chacun des décédés dans l'inter- 

 valle d'une courte période d'années a joui de la rente 

 viagère, en moyenne, pendant la moitié de cette pé- 

 riode. Ainsi, si l'on représente par n l'âge du dépo- 

 sant qui, dans un an, devra toucher pour la première 

 fois la rente, par m sa vie moyenne ou tout autre âge 

 [X pris entre n et mh-w, et par ?/„, ?/,^_^,„ et y^^_^^ 

 les indications de la table de mortalité relatives aux 

 âges n, n -+- m et n -h i^., il faudra admettre que cha- 

 cun des y^ — iu,^^ ou //„ — '/„^^ décédés n'a joui 

 de sa rente que ]iendant l'intervalle de \^m ou de 

 \y~ ans. 



La formule que je donne pour calculer le capital 

 G^ que doit verser à l'époque actuelle un individu 



28* 



