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Bulletin de r/%cad<''iiiie Impériale 



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âgé de n ans pour touclier dès raniiée suivante une 

 rente viagère égale à Vtmité, est la suivante: 



C' = 



Vn-*-yn- 



-Un 



Vn- 



F (m) 



■jn -* 



■Vn- 



F {m") 



in> 



FjntT) 

 s'" 



••(i) 



daus laquelle m, comme nous l'avons dit, représente la 

 vie moyenne à l'âge n, et m', m" etc. le même élément 

 respectivement pour les âges n-t-m, n -\- m -^- m 

 etc. De plus, s désigne l'unité augmentée du taux de 

 l'intérêt, et la fonction F {m) la valeur actuelle de la 

 somme produite, au bout de m années, par une annuité 

 de 1 , payée à la fin de chaque année. Cette fonction 

 F(m) est déterminée par la formule 



F {m) = ^m-j-^. 



m 



Les quantités ?/„, ?/„_^,„, 2/„^,„^.,„' • ■ • sont don- 

 nées soit directement par la fahlc de mortalité qu'on 

 emploie, soit au moyen de l'interpolation pour des 

 valeurs fractionnaires de jh , m', ni!' .... ; quant aux 

 valeurs de F{m) et de -^m, on les trouve dans plusieurs 



recueils de tables. 



Présentons une application numérique de la for- 

 mule (1). Supposons l'âge w = 58; c'est Vâge moyen 

 des pensionnaires de notre Ministère de la Marine 

 pour 35 années de service. Le calcul de l'annuité C^,, 

 relative à cet âge a été fondé sur les indications de la 

 table de mortalité de Brune (Preussische Wittwencasse 

 iiach Brune) et le taux de l'intérêt étant de 5 pour 

 cent '■'■). Si l'on néglige les décimales dans les valeurs 



m^ m', m" de la vie moyenne, on aura (table de 



Brune) : 



m 



- 58, m = 13, n ■ 



-m-i-m' = 78, m! 



= 2, n-t-m- 



«1 = 71, m 



m 



■ m 



■m- 



■m 



m' -+ 



= 85 . 



m 



83, 



et de plus 



y-.s = 5890, 

 y,, = 575, 



1 1 



:'/7. 



y,. 



= 2878, 

 = 334. . 



1305, 



(1,05)'' 



= 0,53032, 



1 



(i,05f; 



"" (1,05P 



0,29530. . 



: 0,37689, 



*) Le capital Cjg, détermini! par la méthode exacte, a été tiniivé 

 égal au nombre 0,1G080, dont il faut retrancher 5 = 0,CCGG6,.. pour 



les pensions payables dans le courant de la première année, 

 nombre C;,^ (lue nous nous proposons de déterminer, est donc 



Le 



(^r., 



1 



2/58 



(2/, 



sy 



■ ?/«, 



60 



1 



1 



= 9,1G080 — 0,6GGGG: 



s étant ésal à \.OTy. 



r 8,49414, , 



(3) 



On ti'ouvcra également dans les tables: 



F(«,)=F(13) = 9, 39357, F(m') = F(7) = 5,78637, 

 F(m")=F(5)=4,32948, F(m"')=F(2) = l,8594] ... 



Calculant successivement les valeurs des termes du 

 second membre de la formule (1), on obtiendra 



Premier terme (),99173 



Second terme 1,08964 



Troisième tei'mc 0,26041 



Quatrième terme 0,00424 •. 



Somme: 8,34602. 



En ne conservant que les trois premiers termes, vu 

 la petitesse du quatrième, on auia le nombre 



C;, = 8,34178, 



qui diffère, par défaut, de la valeur exacte 8,49414 

 (form. (3)) de moins de 2 pour 100, nommément do 

 1,79{|. Une telle approximation, surtout lorsqu'il ne 

 s'agit que d'établir les premières bases des opérations 

 d'une caisse de rentes viagères, est certainement bien 

 suffisante. On arriverait à une approximation encore 

 plus grande en intercalant entre l'âge du pensionnaire 

 58 et 58 H- 13 = 71 ans un âge intermédiaire. 



Supposons maintenant qu'au lieu des nombres en- 

 tiers 



jH = 13, m' = 7, m" — 5 etc. 



on emploie les valeurs exactes de la vie moyenne en 

 commençant par vi = 13,28, qui correspond à l'âge 

 de 58 ans dans la table de Brune, et qu'on calcixle, 

 par le procédé des parties proportionnelles, les divers 

 éléraens qui entrent dans la formule (1). On pourrait 

 croire , au premier abord , que la valeur de O^^, ainsi 

 déterminée sera plus ai)procliée que celle que nous 

 venons de trouver. Mais, en réalité, il n'en sera pas 



