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Bulletin de r/tcad^mie Impériale 



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reste on observera que nous avons considéré le cas 

 presque exceptionnel, celui d'un individu qui, à l'âge 

 de 21 ans, commence déjà à toucher la rente viagère; 

 de plus il est à remarquer que l'écart de 10 pour 

 cent ne porte que sur le premier terme de la formule 

 (1), et qu'il s'abaissera pour la somme totale des 

 H'rmes de cette formule; en eifct, les durées consécu- 

 tives de la vie moyenne iront en décroissant, et, déjà 

 pour le second terme , qui correspond dans notre 

 exemple à l'âge de 60 ans, la valeur de cet élément 

 tombera de 39, GO à 12,18 ans (table de Brune), de 

 sorte que l'intercalation d'un terme entre GO et 72 

 ans deviendra presque superflue. 



L'introduction des âges intercalaires est le plus 

 souvent très avantageuse dans le calcul des rentes via- 

 gères, et en particulier lorsque les valeurs de la vie 

 moyenne sont un peu considérables, ou, encore, quand 

 ces valeurs n'ont pas été calculées d'avance pour la 

 table de mortalité dont on fait usage. Entrons dans 

 quelques détails à cet égard. 



Supposons que l'âge n du déposant à l'époque de 

 son entrée en jouissance de la rente viagère est assez 

 bas, de sorte que le chiffre de sa vie moyenne, au 

 contraire, est assez élevé. Dans ce cas, pour déter- 

 miner la valeur actuelle du capital C„ qui lui assure 

 une rente viagère égale à l'unité, nous considérons 

 successivement les époques 



W' 



l^> 



\L H- V-, 



[-{J.- 



l^ 



comprises entre l'âge n et l'âge limite de la vie. En 

 conservant les notations précédentes, on aura la for- 

 mule 



On = 





■?/«-.,^^<>-'- 



\-ill -1-11 



■(i-HH 





l'V 



-[A ' f!^' 



(6) 



-+-{V I -+- 'Il ' 



En supposant, par exemple, 



t,. = li.'=ix"=:.. .= 10, ,9=1,05, 



on trouve cette formule très simple pour le calcul 

 numérique: 



7,72174 



a 



Vn 



[iil'n' 



,)-*-iyn- 



-U) 



-(?/„ 



■ 'n-i-W 



■V. 



X o,:;of;9G 



formule qui n'exige que la consultation de la seule 

 table de mortalité pour transcrire im petit nombre 

 d'indications 



2/n' Vu. 



10' 



Vn. 



•20" 



Passons maintenant à la question des rentes viagères 

 pour des groupes de plusieurs (êtes. Le calcul exact des 

 annuités relatives à ces cas devient de plus en plus 

 laborieux à mesure que le nombre de têtes formant 

 le groupe augmente. On possède un nombre assez 

 considérable de tables pour les valeurs des annuités 

 relatives aux groupes de deux têtes; pour ceux de 

 trois têtes, je n'en connais que deux, nommément 

 celles qui ont été calculées sur les observations de 

 Norfhampfon: 1° pour trois têtes réunies du môme âge 

 et 2° pour trois têtes dont les différences d'âge sont 

 dix et vingt ans. 



La méthode approximative que je propose est fon- 

 dée sur le même principe que celui qui a servi à éta- 

 blir la formule (6). A défaut de tables de la durée 

 moyenne des groupes de têtes, j'introduis à la place de 

 cet élément des périodes, plus ou moins courtes, dont 

 l'ensemble s'étend aux limites de la vie. Supposons, 

 pour simplifier les formules, que nous considérons un 

 groupe de deux têtes A ai B, la première de l'âge m 

 et la seconde de l'âge w, m étant plus grand que n. 

 Admettons que l'on fait usage de la même table de 

 mortalité pour les deux têtes, de sorte que les indi- 

 cations de cette table relatives à A qX B à l'époque 

 actuelle, sont respectivement ?/„, et y^^. Faisons de 

 plus 



r — W ■- 



n 2/„\-^n-i-1 .s 



y. 



m-t-2 s- 



• V 



C = -^- (il 



m-Hl 





~r,-i~1L 





'Jn- 



H ■ Vn. 



-.■î s^ 



(8) 

 ...)(9) 



à)' 

 ). (JO) 



chacune des deux premières sommes, comprises entre 

 les parenthèses, s'étendant jusqu'aux limites de la vie, 

 et celle de la troisième formule jusqu'à la limite de la 

 vie de la tête A; s désigne, comme précédemment, 

 l'unité augmentée du taux de l'intérêt. Les for- 

 mules (8) et (!)) déterminent respectivement les va- 



