445 



de^i J^cîoiicc'<«t de Saioit-P4!>t4,'Psll>oiir)ï:. 



446 



leurs des annuités des têtes ^1 et i?, et la formule (10) 

 l'annuité viagère relative au groupe des deux têtes A 

 et B tant qu'elles subsisteront ensemble. Quant à la 

 valeur d'une annuité C\^ „ payable jusqu'au décès des 

 deux têtes, elle sera donnée, comme on le sait, par 

 l'expression 



tn,n 



c„ 



c.. 



6' 



(U) 



Cela posé, pour déterminer par approximation la 

 quantité 6',„ ,j , partageons en périodes la différence 

 entre l'âge qui correspond au terme de la vie et l'âge 

 m de la tête A; soient 



\}., [i-, [j. . . . . 



ces périodes successives; pour déterminer la valeur 

 approximative de C'^ „ nous donnons la formule sui- 

 vante : 





{iPmVn- 



2/m-Hu^n-i-J^(l^' 



' m-t-\x-J n-i-is. 







i'/n+(ji+|x'+|x"yn+[Ji+(Ji'-i-|a."' gii.-i-l'^' 



(12) 



On étendra sans peine cette formule à un groupe 

 composé d'un nombre quelconque de têtes. Si, pour 

 la tête J5, il était nécessaire d'employer une table de 

 mortalité différente de celle qui a été prise pour A, il 

 n'y aurait, évidemment, qu'à remplacer les indications 

 2/„, 2/„+^, 2/n+ix-i-^ Pai' les indications correspon- 

 dantes de la table relative à B. 



Pour donner un exemple du degré d'approximation 

 qu'on atteint en faisant usage de la formule (12), 

 supposons qu'il s'agisse de trouver les annuités C,„ ^^ 

 et C'j^ „ relatives à deux têtes ^ et 2?, dont les âges 

 respectifs sont m = 50 et ?ï = 40 ans. Admettons que 

 l'on emploie pour les deux têtes la table de morta- 

 lité de Déparcieux^ et que l'intérêt est à 4,5 pour cent. 

 Si l'on prend, par exemple, 10 ans pour la durée de 

 chaque période, on aura 



tx = ii.' = 11." =....= 10, 

 et les formules (6) et (12) donneront 



a„ = ?^'i(.. 



c,. 



22/5( 



22/40 V-^''« 



-2/go) 

 (2/oo • 



(^60 -+- yJ 



1 



70-'(l,046>l" 



■y,^ 



l 



'(1,045)2' 



^r.M'.n 



F (10) 



22/502/40 r^«''^<" 



■+- ^y^y,. -* 



-^-(^.sn-^2/Go»(i 

 "*~ ^70 ' (1,045)20 ~* 



•- ye^yJ 



s 1 



^70 %o' (1,045)"' 



N 1 



y^y-ifi' (1,045)-» 



,045)»' 



Voici les valeurs numériques des élémcns qui entrent 

 dans ces formules, et qui sont toutes données directe- 

 ment par les tables: 



2/4» = 657, 2/,„=581, 2/eo = 4C3, 2/,„ = 310, 

 2/,,= 118, y,,= U; F(10) = 7,913; 



= 0,6439, 



1 



1 



(1,045)"' 



1 



(1,045)30 



= 0,2670, 



(1,045)2" 



1 

 (l~045y«ô 



= 0,4146, 

 = 0,1719. 



Substituant ces valeurs dans les formules précé- 

 dentes, et par suite dans l'expression (11), on aura: 



Erreurs: 

 H-0,14A 



- 0,02» 

 H- 1,022 

 -0,69fi 



Valeurs approchées: Valeurs exactes: 



a„ =11,938 11,921. . 



C^„ =14,251 14,254. . 



C;„,^^, = 10,379 10,274. . 



G",„jg= 15,790 15,901. . 



les signes h- et — indiquant respectivement les er- 

 reurs par excès et par défaut. 



La petitesse des écarts de ces valeurs approxima- 

 tives, écarts qui pourraient encore être diminués en 

 employant des périodes plus courtes, est certainement 

 bien suffisante dans la plupart des cas. Je dirai plus: 

 il n'est pas impossible que la table de Déparciciix, ou 

 toute autre dont on fait usage, ne présentent elles- 

 mêmes quelques anomalies de même ordre de gran- 

 deur que les écarts ci-dessus. 



Il n'est presque pas besoin de dire que le procédé 

 d'approximation qui vient d'être exposé s'applique, sans 

 aucun changement, au calcul des annuités différées, 

 temporaires^ aux rentes en reversion etc. 



8 novembre 1877. 



