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des Sciences de Staiiit-Pétersbonrs. 



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Zur Entwickelung der negativen, ungeraden Potenzen 

 der Quadratwurzel der Function i — 2riU-t-rf. Von 

 Dr. J 0. BacklUnd, Observator der Sternwarte zu 

 Dorpat. (Lille 13 septembre 1877.) 



Entwickelii wir nach den Potenzen von t), so er- 

 Iialteu wir, indera wir mit s eine ganze, ungerade 

 Zabi bezeichnen 



(1 —2-fiU-*-if) 



f^JV"-..(i) 



Die Grôssen Z7*'' siud durcli folgende Gleichungen 

 mit U verbunden 



U}'^=i-2V 



U}''-. 



ur^-- 



s s ^ 

 2 -2-*-' 



2'IP- 



2 2 2 



2'^/"- 



2 2_ 

 "l" 1 



•2C' 



U,^''= 



? _Vi _V2 I-H3 l l-Hl I-H2 • 



2 2 2 2 „,;-,4 2 2 2 ^ZTJ2 



2 2_ 



tr. 



(»). 



s s 

 2 £ 



r 



.2'^ir- 



2 2 



' 1 ■ : 



-+W-2 



2 " ' ' m 



s s , s „ s 



- — h1 ô"'~2 -+m— o 



f 2 _ 2 w ^^_^_,m_^ 



12 3 m — 4 " '^ 



(2) 



Fur s=\ sind die f/^'^' Kugelfunctiouen. 

 Nach den Potenzen von U geordnet, geht die Glei- 

 chung (1) also in 



Ej"f/'"-+-..(3) 



. , (1-271^7-^7)2) ^ 



iiber. 



Wenn m die bochste Potenz von tj ist, welche be- 

 riicksichtigt werden muss, um die gewiinsclitc Genauig- 

 keit zii erlangen, so ersclieint auch dieselbe Potenz 

 von Um{3), aber keine hohere. Die Summen der 

 m-t-i erstcn Gliedor sind also in den beiden Reihen 

 (1) und (3) identisch. Man ersieht somit, dass die 

 jE**'-Coefficienten nicht zu verwecliseln sind mit den 



Coefficienten in der unmittelbaren Entwickelung nach 

 Potenzen von U, z. B. nicht mit den Coefficienten in 

 der Reihe 



(l_27]f7-+-ï)V 

 s s 



-M 



2 2 



-I 



(l-f-T)-) -pH-|Xf/H-^.^.X^f/- 



...} (3*) 



WO X = q-^^. 



1 H- 1f)- 



Es ist die Aufgabe dieser Zeilen auseinander zu 

 setzen, wie man die ^'^'-Coefficienten zweckmâssig 

 berechnen kann. 



Wir nehmen an, m sei die hôchste Potenz von t), 

 die man zu beriicksichtigen brauclit. Dann unter- 

 scheiden wir die beiden FitUe , wo m gerade und un- 

 gerade ist. 



m = 2n. 



Die erste der Gleichungen (2) multipliciren wir mit 

 7], die zweite mit rf u. s. w. , addiren und ziehen die- 

 jenigen Glieder zusammen, welche dieselbe Potenz von 

 t^enthalten; dadurch erhalten wir 



Er-i-y^î 



s 2 2-^^ 



s s , s , 



(-1) y- „- ^ 



^/"=.r2^i 



^-•-1 



1 



'1*2' 



-(-ir-'V-v- 



-n— 1 



n— 1 



2 2 



S 



^(^)=r.i_.2V^l_.:^ 



2 2 2 



-Z-\ ^ —'Z 



1 



s „ s „ s \ 



,0+2 --*-3 --H« « 



1-1 — 1-2 



2 2 2 



1 2 



2-\ 2:^'.!!'. 3_ 



(4) 



^8 — 12 3 " ' (^ 1 



--«-3 --«-4 --i-n I 



-+-(-1)"-^- ■"- "—.,—'} 



*■ ' 1 2 w— 2 ) 



Es ist hier s=^Tf gesetzt. 



DifFerentiiren wir die erste Gleichung in Bezug 

 auf 2;, so sehen wir sogleich, dass 



■ ^/■'=-?(?^) 



ist. Die zweite Gleichung ebenfalls nach s differentiirt, 

 gibt den Ausdruck fur £„**' bis auf den Factor — tj 



