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des Selciices «le Saîii# - Pëfersboiipg. 



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nient pal' toutes les méthodes eoiiiuics, ne se ré- 

 solvent pas par le procédé du dit mémoire; connue 

 p. c. (.(• — i/')(îx-i-2xijdu = 0. Ainsi la substi- 

 tution ne donne aucune méthode nouvelle d'inté- 

 gration, mais elle reste simplement un procédé 

 pour trouver le facteur intégrant de quelques 

 équations, qu'on sait déjà résoudre par d'autres 

 substitutions ou d'autres méthodes. 

 3) Donc la partie instructive du dit mémoire ne con- 

 siste pas dans les calculs et les équations qu'on 

 y tiaite, mais dans les questions qu'il soulève et 

 les conséquences qui découlent de la substitution. 

 Le lecteur sera curieux de savoir, comment 

 l'auteur est parvenu à conclure que la substitu- 

 tion // ;= ax ■+■ jî (îevait conduire à la solution? 

 Et si cela n'est pas difficile à deviner, ne pent- 

 011 pas tirer de cette substitution quelque règle 

 pour transformer des fonctions beaucoup plus 

 compliquées? 



J'espère avoir fidèlement rendu le sens des re- 

 marques de ]\Ir. l'auteur, dont l'ouvrage, écrit en 

 langue russe, ne m'est devenu accessiliie que par la 

 traduction que je me suis procurée des endroits qui 

 touchent mes travaux. 



Quant à la première remarque, j'ai supposé dans 

 mon mémoire que M et N étaient des polynômes en- 

 tiers par rapport à l'une des deux variables, pour 

 laquelle j'ai pris //, mais dont les coefficicns pouvaient 

 être des fonctions quelconques de l'antre variable x. 

 Aussi les substitutions ou plutôt les solutions parti- 

 culières qui servent à former le facteur intégrant, 

 sont-elles en général des fonctions quelconques de x, 

 désignées par »/,, y.,, ... Il faut encore observer qu'on 

 peut, si y — ijf et y = y.^ satisfont à l'équation difté- 

 rentieile, introduire d'autres variables ii et v par les 

 équations ^ = f -t- t/,, y,, — :y, = «< (si seulement la 

 différence ?/, — ^/.^ n'est pas constante). Par ce moyen 

 on aura pour 7/ =: y,, /' = et pour y =: v/.^, v = u:, 

 on aura ainsi une équation différentielle entre it et v, 

 qui présente les intégrales particulières r = et v = u\ 

 le reste des intégrales particulières, c'est-à-dire 

 y.^ — 7/i, y^^ — v/|, etc. étant évidemment des fonctions 

 de «. J'ai profité largement de ce moyen, savoir de 

 réduire ou de supposer réduite une des solutions par- 

 ticulières y, à zéro, une autre ?/,, à x, pour présenter 



Tome IX. 



les équations différentielles sous les formes les plus 

 simples sans en (liminuer la généralité. 



Cependant j'ai traité avec quelque étendue le cas 

 oii , 31 et N étant des fonctions entières en x et y h 

 la fois, il y a un nomlire suffisant de solutions linéai- 

 res pour en déduire le diviseur intégrant. Je me per- 

 mets de mettre sous les yeux du lecteur l'équation 

 3Idx -t- Ndy ^^ , dans laquelle on a (p. 72 du mé- 

 moire) 



«»(/,) x' H- (Ib -4- ma., 



J)f = rt -+- «, .r -H a,,y -»- (la 



nih — 63) xy — mh.^y' -h [7(rt.,-H «i/aJ -•- in[ma.^-y- 

 mb^ — h;)].ry-i--lh.,xy-, 



N~b-t- b^x-^b,,y-^b-^x--+-2mb,,xy — [l(a,,-\-mb.)-+- 

 m{ma., -f- mb^ — b^f^jf — ^b.x^y, 



les constantes «, «, , «,,, ?^ b^ , b,\,lm étant entièrement 

 arbitraires, et dont je trouve par mon procédé le fac- 

 teur intégrant d'une manière simple et générale. J'a- 

 voue de ne pas connaître d'autres méthodes pour 

 parvenir à cette intégrale. Mais je passe à la seconde 

 remarque. 



Je n'ai pas entendu donner dans mon écrit une 

 méthode générale d'intégration, mais seulement des 

 additions (Beitràge) aux méthodes connues. Ainsi je 

 ne prétends pas que toutes les équations soient trai- 

 tables suivant cette méthode; au contraire, c'est une 

 classe bien 'définie d'équations, à laquelle s'applique 

 le procédé de mon mémoire. Cependant, quant à 

 l'exemple cité et jugé inaccessible à ce procédé, je 

 dois dire d'abord qu'il ne vaut pas la peine de parler 

 de l'équation [x — y-)dx -\- 2xydy =-- 0; mais puis- 

 qu'ici il s'agit de méthode, je vais montrer que mon 

 procédé s'y applique de deux manières différentes. 

 En effet, en considérant y comme variable indépen- 

 dante et X fonction de y, et écrivant dans ce sens y 

 au lieu de x et x au lieu de y, on a 



2xydx-i-{y — x-)dy = 0, 



équation dans laquelle on voit la solution particulière 

 y — 0. Profitant de cette solution on tentera, si le 

 facteur intégrant admet la forme y~', ce qui conduit 

 tout de suite à la valeur e = 2 et avec cela au divi- 

 seur intégrant y'. Autrement: mettons dans l'équa- 

 tion donnée v/^=^, elle deviendra {x—2)dx-t-xdz = 0. 

 Soit s — s, une solution particulière de la proposée; 



0; soustrayant celle-ci 

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on aura (x — s^)dx -h xdz 



