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Bulletin do l'/teadéiiiip Inipëriale 



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de la précédente on obtient (^-| — 2)(lx-+-.rd{z- 



1 = 



dx 



OU bien -^^ — ^'=— » ce qui donne l'intégrale; on 

 peut par exemple prendre ^;, = — .Tlogx. Mais tout 

 cela n'est pas nécessaire pour une équation qui s'in- 

 tègre à la première vue. 



Quant au défaut de nouveauté de mes intégrations, 

 je laisse au lecteur de mon mémoire le soin de juger, 

 s'il est possible de résoudre l'ensemble de mes pro- 

 blèmes par une quelconque de ces méthodes connues, 

 qui sont si restreintes et conduisent à tant de tâton- 

 nements infructueux. Pourtant il me sera permis de 

 citer le problème proposé par lùder dans le § 497 

 des institutions de calcul intégral , qui consiste à 

 rendre intégrable l'expression Py''dx-i-{Q'+-y)if^~\ljj 

 aumoyen d'un diviseur/-+-37}/~i-i\', /*, Ç,ilf,iV étant 

 des fonctions de .r qu'il s'agit de déterminer. Appli- 

 quant à la condition de l'intégrabilité sa méthode des 

 coëfficiens indéterminés, p]uler se trouve arrêté par 

 un système compliqué d'équations différentielles; voici 

 comment il continue: Verum si hinc vellcmus V oli- 

 dere, in aequationem difforentio-differentialeia dela- 

 beremur. Casus tamen quo n ■■=^ 2 cxpediri potest. 

 (Inst. cale. int. t. 1. p. 355 de l'édition de 1768.) 

 Depuis ce temps rien n'a été ajouté à la solution 

 d'Euler; ainsi le problème a subsisté à peu près pen- 

 dant un siècle sans être résolu, excepté le cas «- = 2. 

 Ce fut donc un fait important et cpii augmentait la 

 confiance que je mettais dans mes piocédés, que je 

 réussis aisément à en parvenir à bout, quelque fût 

 le nombre entier et positif m; ce qu'on trouve exposé 

 dans le numéro 8 de mon mémoire (p. 24 et suiv.) 



La troisème remarque de Mr. l'auteur m'engage à 

 m'expliqucr un peu sur l'origine de mes idées, ce qui 



sait le facteur intégrant. Après avoir (Juniié une courte 

 note sur cet objet dans le Bulletin de 1845, je le 

 quittais pour n'y revenir qu'en 1858, oii voyant par 

 occasion combien cette matière était généi'alement 

 négligée, je me décidai à en faire l'objet d'un travail 

 systématique, qui a paru en 18G0. 



Ce travail a abouti à fixer une certaine classe d'é- 

 quations différentielles, dont on peut former le fac- 

 teur intégrant à l'aide de certaines solutions particu- 

 lières qu'il faut d'abord découvrir. Mais je ne peux 

 que renvoyer le lecteur au numéro 9 de mon mé- 

 moire, p. 29, où l'on trouve expliquée la forme la 

 plus générale du facteur intégrant qui appartient à 

 la classe d'équations dont il s'agit et le théorème qui 

 sert de base à mon procédé d'intégration. L'avan- 

 tage du théorème consiste à déceler certains élémens 

 du facteur intégrant, si d'ailleurs ce facteur admet 

 réellement la forme supposée. Ainsi le procédé est 

 très restreint vis-à-vis du problème général d'inté- 

 gration, mais comparé aux moyens connus jusqu'ici 

 il me paraît être d'une étendue bien grande. 



Quant à l'arraugement de mon mémoire, j'avais 

 d'abord conçu le plan de commencer par le théorème 

 général, pour en descendre ensuite aux applications 

 particulières. Cependant ce plan semblait faire dé- 

 pendre les cas les plus simples et qui uffraient des 

 facilités particulières, d'une théorie qui n'était né- 

 cessaire (lue pour des cas plus compliqués. Ce mo- 

 tif m'a déterminé à i)référer une marche ascendante 

 du simple au composé. Eu renversant l'ordre j'au- 

 rais certainement jirévénu une critique qui revient à 

 peu près à diie que tout mon travail ne roule que sur 

 la substitution y/ = arr -h (3 , puisque dans le premier 

 numéro j'ai montré le parti qu'on peut tirer des inté- 



peut être utile pour gagner quelque lecteur à les \ gnxles particulières de cette forme pour l'intégration 



suivre. Ce fut surtout l'étude du second chapitre de 

 la 2"" section des institutions d'Euler, inscrit: de in- 

 tegratione aequationum ope multiplicatorum, dans 

 lequel je cherchais quelque chose de plus que ne don- 

 nent les traités sur cette matière évidemment peu 

 cultivée. J'y trouvais nombre d'exemples curieux, 

 obtenus par un calcul habilement conduit; mais je 

 n'y trouvais nulle part expliqué la cause du succès 

 que je désirais surtout à connaître. .Je parvins enfin 

 à la découvrir dans certaines solutions particulières 



d'une équation très simple et très connue, mais qu'on 

 a toujours traité d"uiie manière à mon avis moins di- 

 recte. Je ne peux passer sous silence une observa- 

 tion toute spéciale concernant la manière d'après la- 

 quelle Mr. l'auteur présente dans le numéro 48 de son 

 ouvrage, p. 1 17, mon procédé d'intégration de la dite 

 équation différentielle, dans laquelle on a 

 M = ax H- hjj -+- c, N= ax -^l) y-^ c', Mdx^Ndy — 0. 

 Dans le cours de l'exposition on trouve dit sans au- 



des équations proposées, dont évidemment se compo- c"»*^ démonstration, que le quotient ^-^ est constant; 



