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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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mais comme cela n'est nullement évident en soi-même, 

 il paraît qu'on l'a regardé comme résultant d'un cal- 

 cul simple, qu'on a laissé au lecteur. Cependant il 

 est très essentiel, sinon dans le cas particulier, au 

 moins pour la méthode , de familiariser le lecteur 

 avec une manière expeditive de parvenir à la dite 

 conclusion sans aucun calcul, par la seule considéra- 

 tion de la valeur x de x qui rend y, = y.,, comme on 

 le trouve expliqué p. 5 de mon mémoire. Ainsi j'ai 

 vu, avec regret, dans l'exposition de mou procédé 

 tronqué ce qui en fait véritablement la pointe. 



Mais j'abandonne toutes ces réflexions pour m'a- 

 dresser aux lecteurs qui n'ont aucune connaissance 

 de mon mémoire et leur proposer quelques exemples 

 simples, tirés (à l'exception du premier) des formules 

 générales de mon mémoire, et qui donnent lieu à com- 

 parer entre elles les dift'érentes méthodes qu'on pour- 

 rait y appliquer. 



On trouve dans l'ouvrage de Mr. le Prince Ourous- 

 sof, p. 108, le facteur intégrant de l'équation sui- 



vante: 

 Mdx - 



miy=-0, M=y- 



■y -* 



2xy 



2y^x-+- 



+- 2x)x. 



Ayx -+- 2x, 



Pour traiter cette équation d'après mon procédé, il 

 faut d'abord observer qu'elle est satisfaite par y = - 1 , 

 if étant divisible par (/,. Soitilf = G{y -+- 1), on aura 

 G — y"~^-2yx-i-2x. On peut encore remarquer qu'une 

 autre solution est donnée par x — 0; mais je n'ai pas 

 besoin de connaître à priori les solutions indépen- 

 dantes de y. Tachons de former le facteur intégrant 

 e~" de la manière la plus simple avec la solution 

 obtenue ?/, = — 1 ; ce qui se fait en supposant 



V sera en général un polj'uome entier en y, mais on 

 voit aisément qu'il suffit de supposer V indépendant 

 de y. L'équation de condition à laquelle il faut sa- 

 tisfaire devient dans ce cas: 



'2f 



H- £(/ -\~ 2xy -H 2). 



Comparant des deux côtés les termes affectés d'éga- 

 les puissances de y, on n'obtient que les trois con- 



ditions: 2 = — 2x^,~ ~^^,2— — x ^,0 = -a^ 



'' •• ' dx ' 



dx ' "> " '^' dx^ "^ ■* dx 



qui s'accordent à donner a; 'i-^ — 2, e == — 2; donc 

 on a V= — 21oga; et le facteur intégrant 



e-"=x'{y-^lf. 



L'intégrale est: {2y^ -t- ?>yx-^ Zx)x\y-+- if — Const. 

 Soit proposé {y-\-x){y — \)dx—2(x — l]ydy = Q; 

 on remarquera tout de suite les solutions particu- 

 lières y = \ et y =^ x; profitant de ces solutions, on 

 trouve par un calcul très simple le facteur intégrant 



y — X ■ ■ 



ix-my-iy ''^'"^' "» ^ 



^,J~^y_,^ {(y-+-'^){x-\)dx-2{x—\)ydy] = da 

 d'où l'on tire a = 2y — x^^-^ -t- 2 log^^. 



•^ , X — 1 X — 1 



L'équation 



[1 — (1 -»- /?) y cos .r -+-(/< -f- (1 — /() sin x'^) y'^] dx -t- 

 (1 — //) sin X cos X . ydy = 



offre les solutions y = é"^ et y = c ^\ i étant V — 1 , 

 dont on tire le diviseur intégrant: 



1 -t-h 



{smxy '.(cosx)".(l — 2yco?,x-¥-y') 

 Pour abréger je désignerai par R le radical 



Si l'on a 1i = 0, l'équation devient 



(1 — y cos x H- ?/" sin x) dx -4- sin a;cos x . ydy = 0, 



dont on aura avec le diviseur intégrant sin ic. cosa;'. R 

 l'intégrale 



Q 



R 



COS .T 



log 



y — cos X -+- B 



Soit proposé en dernier lieu Mdx -+- Ndy = 0, 

 ilf = 2 [x^ -+- 2x' -+- 2x — {x"" -t-x-t-\ )y]y 

 N = [xy — x' — 2x — 2)x^ ; 



on remarquera d'abord les solution y = ety — x, 



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