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Bulletin de l'Académie Impériale 



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ditions nécessaires et suffisantes pour réduire le second 

 membre de l'équation (4) à son premier terme 



On obtient facilement cette fonction par le moyen 

 suivant: 



Le déterminant 



-p r q r , 2<\> r p r 



2? r ff r ', 2?A 



en vertu d'un théorème connu de la théorie des dé- 

 terminants, est la somme de produits de déterminants 

 du second ordre 



20. 2T — <p'" 



2 



rs 



PrPs 



ffrî. 

 «M». 



relative à toutes les combinaisons r s des indices : 

 1 , 2 ... m. Eu égard aux formules 



/ dT vl , de v , 



«r := W- == ^Kk Pk » <K = dj r = fV*?*' 



on aura 





par conséquent 



20.2T— <p' 2 = 



f*f*i»*» fM* 



f*»^ 



f**?! 



(15) 



et 



? 



20 . 2T = 



2 2 (*rt*rf - Ki**) (Wi - Pi?*} &?. —Ps9r)- 



La valeur de (1 5), comme nous l'avons vu plus haut, 

 étant égale à une somme de carrés réels, ne peut être 

 négative et ne s'évanouit que pour 



Çl __ Pi _ _ Pn 



9i 9 2 9n' 



c.-à-d. qu'en vertu des équations (8). 



L'expression (15) peut être aussi mise sous la 

 forme d'un déterminant, savoir 



4 ) 



4) On parvient plus facilement au principe de Ha- 

 m il ton, en considérant au lieu de l'expression 



20 . 2T — <p' 2 

 cette autre 



8 + T-?', 



qui se réduit très simplement à une fonction quadra- 

 tique, dont la valeur ne peut être négative et qui 

 s'évanouit seulement en vertu des équations (11). En 

 effet, on a identiquement 

 © -+- T— <p' = 42fe„(p r <p, -*- \2h rs p r p t — 2h rs9r p s , 



expression qui se réduit évidemment à une fonction 

 quadratique 



9 h- T— q/ = |2A M (p r - q> r ) (ft - <p,)- ( 1 6) 



Le discriminant de cette fonction 



*ii*u- ■ • " K 



H 



KÀ* •■•>»* 



et tous ses déterminants mineurs principaux 



*U *!«••■■ Km 



h„ y Ji.. . . . h mm 

 m\ m2 mm 



4) Brioschi, Théorie des déterminants, page 49. 



étant différents de zéro et positifs, la fonction (16) ne 

 pourra être négative pour aucun système de valeurs 



Pi — ?n P: — ?2- • -Pn — ?»' 



et ne devient nulle que pour 



2>, = <Pi, i\> = ?>- • ■i'n^?» ( ,7 ) 



Cela posé, on tire de ces dernières équations 



2p r 3 r ' = '2<p r g' r ' c.-à-d. 2T=?', 

 et la formule (16) donne alors 



— T=0. 



Or admettant dans le mouvement, déterminé par les 

 équations (17), l'équation des forces vives T= U-i-h, 

 on aura pour la fonction 9 l'équation de condition 



Q=U-*-Ji. (18) 



qui est précisément l'équation qui détermine la ca- 

 ractéristique de Hamilton. On démontrera ensuite, 

 comme précédement, que les équations de la Dyna- 

 mique sont comprises dans les équations (17) et (18) 

 et que leurs intégrales finies sont données par la règle 

 de Jacobi. 



