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des Sciences fie Saint ,-P«ttfersl>ourg. 



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est U. Pour le démontrer nous déduirons des équa- 

 tions (11), eu égard aux équations (5) et (9), les équa- 

 tions de la Dynamique sous la forme canonique. 

 Eu vertu des équations (11) la formule 



, _ dT 



U= H, on aura 

 ,_ m 



2r — dp/ 



ce qui donne le premier groupe des équations cano- 

 niques: 



/ dH 



devient 



et, si l'on pose T- 



dH , clH 



dp'/ 5 ' 2 dp/ • • 



Ensuite les équations (11) donneront 



'in — âp n 



•(«) 



Pr 



j. v> dtp r i -ç r7cp r dH 



Or 



dq s 



( ls 

 rf 2 <p 



dis Is ' s dq s dp. 



dq/ 



dq r dq s 



et en vertu des équations (5) et (1 1 ) 

 dH _ de . 



dp s dtp s ' 



par conséquent 



de d<( s 



l>/ = 2 



.dtp, dq r ' 



(13) 



et de l'équation (8) on tire 



de dtp ide 



s d<9 s dq r 



(— V 



\dq r l 



dV_ 

 dq r 



OU 



(-^-\ désigne la dérivée partielle de par rapport 



, dh kh 



dhh 



hq r , savoir J2-^»9,9 A i qui devient \2^p r P s 

 dT 



dq/ 



; ainsi 



_, de dtp dT__(W 

 dtp s dq r dq r dq/ 



ce qui réduit la formule (12) à 



, dU_ dT dH . 



•* >• dq r dq r ~ dq r ' 



de là on tire le second groupe des équations cano- 

 niques: 



_dH_ 



Pi ~ d q / 



dH 



i dH i un ,iis 



Les équations (9) sont donc effectivement les inté- 

 grales intermédiaires des équations canoniques (12) 

 et (14); ce qui démontre le principe de Ha m il ton. 



Les intégrales finies de ces équations s'obtiennent 

 par la règle de Jacobi, savoir: 



dtp 

 da l 



P. 



dtp 

 da n 



= &. 



dtp 



da- 



P.- 



dtp 

 ■i' dh 



= t -+- T 



où (3, (3 2 , . . . (3 , t sont des constantes arbitraires. 

 On les démontre ordinairement à posteriori, en fai- 

 sant voir que les équations différentielles qu'on en 

 tire s'accordent avec les équations (12) et (14). Mais 

 il est préférable de les déduire directement de l'équa- 

 tion fondamentale (G), comme fait M. Minding dans 

 son mémoire cité plus haut. 



Après avoir substitué dans (G) à 9 l'intégrale com- 

 plète de l'équation (5), on aura une identité relative 

 aux constantes a,, a 2 ,. . . a n _ ,, h, contenues dans 

 cette intégrale; par cette raison il est permis de dif- 

 férencier l'équation (6) par rapport à ces constantes, 

 sans faire varier les quantités: <j r , q n [p r - ® r > comnic 

 le premier membre ne contient pas a,, a 2) . . . a n _ ,, 

 et que la dérivée du carré (k r l s — k s l n f, ayant le fac- 

 teur k r l s — k s l n , s'évanouit en vertu des équations 

 (11), on trouve 



dp- 

 = 2 ? ' -g*, 



et par suite 



«fan 



dt 



et 



dtp 

 da. m 



= P 



m ' 



(3 étant une constante arbitraire. 



Différenciant l'équation (G) par rapport à h, on aura 



_dh 

 dt ' 



et comme 9 



2.22'= 29' 



2T, ce résultat devient 



dt 



= 1. 



t 



d'où l'on tire l'intégrale 



dtp _ 

 dh ~ 



t étant une constante arbitraire. 



3) La somme des carrés dans la formule (4) 



peut être remplacée par une fonction quadratique ho- 

 mogène de quantités qui se déduisent de la formule 



Pr9 s -P s 9r 



en attribuant à r s toutes' les combinaisons deux à deux 

 des indices: 1, 2,. . . n; ce qui a l'avantage de faire 

 voir directement que les équations (11) sont les con- 



