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Bulletin de l'Académie Impériale 



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La même formule donne 

 Posant pour abréger 



u - 



Vf 



A { A 2 



V 2 



u„ 



V ^ m _,A r 



= k 



m> 



1 ^m-iA 



'm ' ' • 



h 2 V7. 2 



...L 2 



2L 2 



7/1 



fc.f. 



ç = «jt, -t- k. 2 l 2 ■ 



fej. 



2* J- > 



■ (2) 



(3) 



Les déterminants vl,, A 2 ,...A n étant, comme nous 

 avons vu plus haut, tous différents de zéro et positifs, 

 les valeurs de k m et l m seront toujours finies et réelles. 



Le déterminant du second ordre, formé des trois 



valeurs (3) 



2fc_ ! , 2kJ. 



2T.2& — qT = 



'm ' 



2k l ,21 2 



mm ' m 



se présente sous la forme d'une somme de carrés, 

 savoir 



2T.2S — cp' 2 =2 



M. 



où il faut prendre pour r s toutes les combinaisons, 

 deux à deux, des indices 1,2,... n. On a donc 



2T. 20 = 9 ' 2 -t- 2 (fc r Z. — h s l r f (4) 



TS 



Cette formule a lieu pour une fonction quelconque 

 <p de </,, q„, . . . q n ; elle permet donc d'assujettir cette 

 fonction à telle condition qu'on veut. Prenons pour 

 9 une intégrale complète de l'équation aux dérivées 

 partielles 



B=U+h,c.-h-i.2h n £ r « = V -*, .(5) 



où U est le potentiel d'un système de forces, appli- 

 quées aux masses m, m', m". . . et h une constante ar- 

 bitraire. La formule (4) devient alors 



2(U-+-h).2T= 9 ' 1 -*-2(k r l s — k t l r f....(%) 



ou 2 ( U -+- h) . 2mcls 2 = (dyf ri- 2 (k r l s — h s l r f df, 



expression qui ne diffère de la formule de M. Lïou- 

 ville que par les notations. 



Maintenant si l'on assujettit les variables q lt q 2 ,--- 

 q à faire évanouir tous les carrés (kj s — kj r f. ou aura 

 pour déterminer ces variables les équations : 



*i 





ou, eu égard aux formules (2), 

 Ui _ U 2 _ (7., _ 



v\ — v 2 — v s - 



v„ 



(7) 



Or 



Pi—Ai U 2~ a uP s — «àA 



^2 = a il ?2 — «21 ?1 



F,= 



et l'égalité des deux premiers rapports donne 



c.-à-d. 



El 



f, ~ F 2 



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o. -+•«,. r/. 



<p 2 



De l'égalité de ces deux rapports au troisième (7) on 

 aura 



£». — ** = ^2- 



9| 9 2 9; t ' 



ainsi de suite; on trouvera enfin que les équations (7) 

 se transforment en 



il 



9i 



92 



9n' 



(8) 



ce qui donne n — 1 équations différentielles du pre- 

 mier ordre entre les variables: g'„ q. 2 ,. . . q n : 



^ 2 «A = ^f«A 



97,?«A 



Pour exprimer les variables q x , q 2 ,- • ■ q n en fonc- 

 tion du temps t, il faut adjoindre à ces équations en- 

 core une, qui contienne le temps. Nous prendrons 

 pour cette équation celle qui dérive du principe des 

 forcesvives T=u + h (9) 



Alors en vertu de l'équation (G) qui devient 



nous aurons 



2(Z7-t-A).2T 



9 '=2T. . . 

 les équations (8) donneront ensuite 



<P 



(10) 



Pm 



9in 



-9r3r 



2T . 



: 7 — l > 



par conséquent les équations (8) et (9) se réduiront à 



Supposons que l'intégrale complète de l'équation 

 (5) contient la constante h et n — 1 autres constantes 

 arbitraires a,, a„,. . . <*„_,. Alors les équations (11) 

 seront précisément les intégrales bamiltoniennes in- 

 termédiaires des équations différentielles du mouve- 

 I ment qui est produit par des forces, dont le potentiel 



