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(les Sciences (le M,»ni< - IVfersbourft. 



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simplement à la démonstration algébrique du principe 

 de Hamilton, et qui fournit, comme celle de M. 

 Lio u ville, un théorème remarquable de minimum, 

 concernant la quantité qu'on peut nommer , en adop- 

 tant les dénominations proposées par M. Rankin, 

 différence de l'énergie active et de l'énergie poten- 

 tielle. 



2) Considérons un système de points matériels: 

 m, m', m",... assujettis à des liaisons qui donnent poul- 

 ies coordonnées des points des équations de condition, 

 telles que le temps ne s'y trouve pas explicitement, 

 et supposons qu'au' moyen de ces équations toutes les 

 coordonnées soient exprimées en fonction de w va- 

 riables indépendantes: g n <? 2 , . . . q n . Alors, pour dé- 

 terminer un mouvement quelconque du système, qui 

 soit compatible avec les liaisons, on pourra prendre 

 pour ces variables des fonctions arbitraires du temps. 

 Cela posé, désignant par v, v, v", . . . les vitesses des 

 masses m, m', m", . . . dans un pareil mouvement et 

 par T la force vive },2mv 2 ; on peut exprimer celle-ci 

 par une fonction \ 2a rs q r 'q s ' quadratique et homogène 

 par rapport aux dérivées q' r — JjF, dans laquelle les 

 coefficients a rs sont des fonctions connues des varia- 

 bles: g,, q 2 ,... q n . La fonction 2a rs q r 'q s ' ne peut être 

 négative pour aucun système de valeurs ç,', g 2 ',.-- g„' 

 et ne peut s'évanouir que pour g/ == , g/ == 0, . . . 

 g n ' = 0; par conséquent le discriminant 



A = 



tïoi ^O' 



a m a m-" a nn 



et les déterminants mineurs principaux: 



':, «,„.... «... 



a n , 



«11 «18 



21 22 



«ml «tns • • " ««u» 



seront différents de zéro et tous positifs. 



Posant /> 



et p, 

 on aura une forme adjointe 



1 d£ 

 s A da r!l 



^ = f'r/h = «r. îl' ■*■ <>n ( h + - ««&, > 



où p i: p 2 ,. . . p n sont les variables auxiliaires, que 

 Poisson a introduit dans la Dynamique, et au moyen 

 desquelles les dérivées q' T peuvent être exprimées sous 

 forme linéaire, savoir 



/ dT ^, 7 



1r=di T = ^KsPs- 



Soit encore: <p une fonction quelconque des variables 



Su &>• ■ °n> 



9i» 9 8 - • ■?„ 



ses dérivées partielles par rapport à ces variables et 



une fonction quadratique de ces dérivées de la même 

 forme que (1). Faisant 



on aura aussi 



et 



* = k2«Ms 



de 



9r=*jr= : ?«„<!v 



La dérivée ©' = ~ = 2<p r g r ' prendra la forme d'une 

 fonction bilinéaire des variables <]> r et des variables 



q r ', savoir , , 



9 =2a rs ty r q s 



qui peut être mise, à l'aide d'une formule donnée par 

 Jacobi 3 ), sous la forme 



9 =■ 



où l'on a 



<t) 



u„ 



«■1«U 



■ fi. 



■ a. 



iPi 



«„,.« .,..-•■«. 



v m = 



mi"«lï m, m— 1 "m 



Ai. 



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3) Crcllc Journal T. 58 p. 270 et 282. 



