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DSulletiii fie lMcadéinie Impériale 



SS 



N' — l 



N-l 

 4 



(a) 



ou 



N' 



16 s 2 



ainsi 

 , posi- 



2A' N ,q 4 =M N q 



i étant toujours un entier impair positif, et s,, 



que s, Un entier indifféremment pair ou inipaii 



tif, nul ou négatif. Pour les coefficients des puissances 



de o, on a les expressions: 



ff-i 



A N ,=2(-1)\ A N = Z(-1).* 



La première de ces deux sommes est relative à toutes 

 les valeurs de s, qui donnent N' = r -+- 8s, 2 et la se- 

 conde à toutes les valeurs de s qui donnent N — 

 r -+- 16s 2 . Voici les conséquences de la formule (a) 

 qui mènent à la démonstration du théorème de M. 

 Liouville : 



1) Si le nombre N est seulement susceptible d'avoir 

 la forme i 2 -H8s, 2 , c.-à-d. ne peut être mis sous la 

 forme r -h 1 6s 2 , on aura A' s -=0. De même, si N 

 ayant la forme r -+- 1 6s 2 , ne peut prendre la forme 

 r-i-Ss, 2 , on aura A x —0. 2) Enfin si le nombre A 7 

 peut être représenté par l'une et l'autre des deux 

 formes i 2 -+■ 8s, 2 et i 2 -+- 1 6s 2 , on aura 



A X = A X, 



ce qui prouve l'égalité des coefficients de F(«) et F^,) 

 dans les deux sommes A et B, et par suite l'égalité de 

 ces deux sommes. 



Sur un moyen algébrique de démontrer le prin- 

 cipe de Hamilton relatif à l'intégration des 

 équations de la Dynamique. Par J. Somoff. 



(Lu le 19 janvier 1871.) 



1) M. Liouville, dans un mémoire qui poite le 

 titre : Expression remarquable de la quantité qui dans 

 le mouvement d'un système de points matériels à liai- 

 sons quelconques, est un minimum en vertu du principe 

 de la moindre action' 1 ), démontre que la quantité qui 

 figure sous le signe d'intégration dans l'intégrale nom- 

 mée action, savoir: la somme des quantités du mou- 

 vement multipliées respectivement par les éléments 

 des courbes décrites par les points du système, peut 

 être représentée , à l'aide de l'équation des forces 



1) Comtp-rendu, 1850, juin 16. 

 ville, 2 mp série T. I. 



Journal de math, de M. Lion- 



vives, sous la forme d'une racine carrée d'une fonction 

 homogène quadratique par rapport aux différentielles 

 des variables principales, qui servent à déterminer la 

 position du système, et que cette fonction quadratique 

 peut être transformée, au moyen d'une substitution 

 orthogonale, en une somme de carrés, de manière que 

 l'un des termes de cette somme est le carré de la 

 différentielle totale d'une fonction, qui doit satisfaire à 

 une certaine équation aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre. 



M. Liouville fait voir ensuite que si l'on assu- 

 jettit les variables principales à rendre nuls tous les 

 autres carrés, on obtient des équations de condition 

 qui rentrent dans les intégrales hamiltonieniies inter- 

 médiaires, ce qu'il prouve, en s' appuyant sur le prin- 

 cipe de la moindre action. 



M. Minding dans son mémoire portant le titre: 

 De formate , in quant geometra britanicus Hamilton in- 

 tegralia mechanicae analyticac redegit, origine genuina 2 ) 

 a donné une démonstration analogue du principe de 

 Hamilton, mais plus développée, et qui, ne s'appuyant 

 pas sur le calcul des variations ou sur le principe de 

 la moindre action, porte un caractère algébrique. 



Dans la note, que j'ai l'honneur de présenter à 

 l'Académie, je fais voir, que l'expression sous la forme 

 d'une somme de carrés, que M. Liouville a seule- 

 ment indiquée, sans avoir déterminé la valeur définitive 

 de chaque terme, peut être obtenue facilement et dé- 

 terminée complètement à l'aide d'une formule, que 

 Jacobi a donné pour une certaine transformation des 

 fonctions bilinéaires et que les équations de condi- 

 tion, en vertu desquelles la formule de M. Liouville 

 se réduit à son premier terme, peuvent être très sim- 

 plement ramenées aux intégrales hamiltonicnnes inter- 

 médiaires, indépendamment du principe de la moindre 

 action. Je montre ensuite que la somme des carrés, 

 qui doivent s'évanouir en vertu de ces intégrales, peut 

 être remplacée avantageusement par une autre fonc- 

 tion quadratique, par la forme de laquelle on voit im- 

 médiatement, que les intégrales dont il s'agit sont 

 les conditions nécessaires et suffisantes pour réduire 

 l'expression de M. Liouville au premier terme. En- 

 fin je donne une nouvelle formule, qui mène plus 



2) Dédié à l'Observatoire de Poulkova le jour de la célébration 

 de 2!> ans écoulés depuis la fondation de cet Observatoire, le 7 août 

 1864. 



