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des Setences de Saint- Péfersbourgf. 



§6 



Note relative à une formule de M. Liouville. Par 

 M. G. Zolotaref. (Lu le 10 novembre 1870.) 



M. Liouville a inséré, dans son Journal 'de Mathé- 

 matiques pures et appliquées (voir le cahier d'Avril 

 1870), un extrait de sa lettre adressée à M. V.-A. 

 Le Besgue, où il fait connaître une formule qui 

 conduira, comme M. Liouville l'espère, à des con- 

 séquences utiles dans la théorie des nombres. Voici 

 comment l'auteur énonce cette formule, ou plutôt le 

 théorème compris dans cette formule : « Soit m un 

 «nombre entier donné, de la forme 



M -+- 1. 



«Posons d'abord, de toutes les manières possibles, 



9 *9 9 i r> Jî 



m- = v -+- u- -+- 1 Gs , 



«i désignant un entier impair et positif, « un entier 

 «pair, positif, nul ou négatif, enfin s un entier hidiffé- 

 «remment pair ou impair, positif, nul ou négatif. 

 «Puis cherchons la somme 



i 2 — 1 



F (a) 



(A) 



2(-l) 



«relative à tous les systèmes de valeurs (i, u, s) pour 

 «lesquelles notre équation a lieu: F indique ici une 

 «fonction algébrique ou numérique quelconque. 



«D'un autre côté, faisons aussi, de toutes les ma- 

 «nières possibles, 



• 9 O O _ 9 



m = i* -+- a^ -+- bSf, 



«î, désignant un entier impair et positif, «, un entier 



«pair, positif, nul ou négatif, enfin s 1 un entier indif- 



«féremment pair ou impair, positif, nul ou négatif. 



ul'uis cherchons, pour tous les systèmes (■/,, «,, s,), 



«la somme 



2 (-1 )*>/*'(«,), (Il) 



«où la fonction F est la même que ci-dessus. 



«Je dis que les deux sommes (A) et(Z?), que je dé- 

 « signe par A et B, sont toujours égales entre elles. 

 «En d'autres termes, on a toujours 



i l - 1 

 2 (_1) S " F(u) = 2(— D s iF(«,) . ..(1) 



M. Liouville ne donne point la démonstration de ce 

 théorème, et se contente de le vérifier sur quelques 

 exemples. 



11 est facile de prévoir à priori que ce théorème, 



ainsi que plusieurs autres du même genre, apparte- 

 nant à la théorie des nombres, peut être déduit des 

 propriétés des fonctions elliptiques, ce que nous nous 

 proposons de faire voir. 



Considérons en premier lieu l'identité 



; 2 -i 



oo 



«a-OO-'/T 



2 2 4 



(?) 



qu'on obtient, en égalant l'expression de la fonction 

 Jacobienne //j(0,(/) en produit infini 



2V?.»(i--'/''Hl-w/ n f 

 à son expression sous la forme d'une série 



4 OO 



2Vq2q 4 . 



Remplaçant dans l'identité (2) q par qV — 1 , on 

 aura 



j2_] î* — i 



oo 



4n x 



V 



2(- 



1) 8 q 4 



?fl-*V) 0-4") ■■'<») 



D'un autre côté on trouvera facilement, au moyen 

 des expressions connues pour les fonctions Jaco- 

 biennes, que 



oo oo 



fl, (0, 5) O (0, g 2 ) D (1 -g 2n ) (l-i-g 2n ) 2 .lT(l -q in ) (1 -g*"" 2 ) 2 



2Yq . (0, g 4 ) 



n(l-2 8n )(l-2 s "— 4 ) 2 

 i 



n(i- 



(1-Hg 2 ») 2 



oo 

 U(l-g 2 ")(l-*-g 



l \*(\-t-q* n — l ) 2 



ïl(l-f-g* n )(lH-g 4 



2)5 



11(1- 



(1 -«-g 4 " — 2 ) 2 



= 11(1 -r/")(l ~t- 5 4 " 

 Comparant ce résultat- à (3), on aura 



21 7 g 



ce qui donne 



! e(0,g 2 ) = e(0,2*)2(— 1) 



■ 1 i 2 -l 

 o 4 



i 2 -i 



? = oo s = -+- oo 



2 q 4 . 2 (- 



1 



j = l 



s =-f-oo 



. = 2 (- 



s = — oo 



s = — oo 



1 



1 t 2 -l 



w 



2 (- 1) 8 q 4 



» = 1 



Après avoir fait les multiplications indiquées dans cha- 

 cun des membres de cette équation, on obtiendra un 

 résultat de la forme 



6* 



