BULLETIN 



DE L'ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES DE ST.-PÉTERSROIIRG. 



Zur Méthode der kleinsten Quadrate. Von 

 P. Minding. (Lu le 23 février 1871.) 



Die Méthode der kleinsten Quadrate fordert, dass 

 aus einer Reihe von Gleichungen, wie 



cz -+- n = u 



c \ 2 ' 



n, = m, 



ax -*-by - 

 a x x -+- b x y 



afl -+- b 2 y -+- c 2 z -+- n 2 = u 2 

 u. s. \v 



(0 



diejenigen Werthe der unbekannten x y z gefuuden 

 werden, welche die Summe der Quadrate aller u, d. i. 

 \uu] so klein als môglich machen. Zu diesem Zwecke 

 wird [m] in folgende Forra gebracht: 



[mm] 



{au]* 



[aa] 



fb6.ll ^ [cc.21 »-L» w - d J.-- ■{*) 



WO 



[au] = [aa]x -+- [ab]y -+- [ac]z] -+- [an] 

 [bu . 1] = [bu] -+- A' [an] = [bb.l ]y -+- \bc . \]z-*- \bn . 1] 



[eu. 2] = [cu]-t-B"[bu] -t-A"[au] = [cc.2]z-*-[cn. 2]. 



Die hier gebrauchten Bezeichnungen sind aus den 

 Schriften von Gauss und Encke so bekannt, dass sie 

 an dieser Stelle keiner Erklàrung bediirfen. Aus der 

 identischen Gleichung (2) ergeben sich nicht allein 

 sofort die gesuchten Werthe der xyz, welche, in so 

 fern die Gleichungen (1) eine Reihe gleich guter Be- 

 obachtungen darstellen , zugleich die wahrscheinlich- 

 sten Werthe jener unbekannten Grôssen sind, sondern 

 es wird daraus auch der Beweis hergeleitet , dass 

 dièse Bestimmung der letzten Unbekannten z das Ge- 

 wicht [ce . 2] hat , wenn das Gewicht der einfachen 

 Beobachtung als Einheit gesetzt wird. 



Durch irgend eine lineare Substitution kann die 

 identische Gleichung (2) in eine andere, jedoch ganz 

 auf dieselbe Regel gegrundete, verwandelt werden. 

 Nur muss die Déterminante der Substitution von Null 

 verschieden sein. Es sei 



Tome XVI. 



ferner sei 

 2t= la 



X,Y) 



«il 





% = lx -+- l x y -+- l 2 z 

 ■q=gx-t- y x y -+- g^z 



(3) 



21, = la, 



■Y&, 



Y.C. 



33 = X,a 



Y b -t- x,c 



■ Y,ft -+- js,c u. s. w., 



(5 = l 2 a -+- y 2 b -+- x 2 c 



so verwandeln sich die Gleichungen (1) in folgende: 



Hg -4- 33y) -4- 6Ç -+- n = u j 



3ï,| + 33^ -*- (5^-h », = «, j 



u. s. w. 

 woraus folgt: 



[2t«] = [2lîl]£ -h [3133]ti -h [5i6]Ç -4- [3ïw] 



u. s. w. 

 und schliesslich: 



(4) 



[@U.2] 2 r o1 /C x 



Auch ist 21m = (la •+■ y& -+■ x.c) u, dalier: 



(6) 



[2ïm] = l [au] -+- y [bu] -+- x [eu] 



[33w] = X, [«m] -i- y, [6m] -h x, [cm] 



[6m] = X 2 [au] -t- Y s [&«] ■+- * s t CM ]- 



Fiir die kleinste Quadratsumrue ergiebt sich aus 

 (5) derselbe Werth wie aus (2), weil nach (6) mit 

 [au], [bu], [eu] zugleich [2lw], [33m], [Sm] verschwin- 

 den. Daher folgt aus (2) und (5) die identische Glei- 

 chung: 



(7) 



[au]* [bu. If [eu. 2]* _ [ilu] 2 

 [aa] ~*~ [66.1] ~*~ [ce. 2] ~~ [3M] 



[Sh.IP [6m.2P 



[SB.l] [<SŒ.2]' 



Setzt man in dieser Gleichung x — 0, y=^0, z=0, 

 also auch £ = 0, ï) = 0, Ç = 0, so wird m = m, m, = m,, 

 u. s. f. ; also ist auch 



[an] 2 [bn.l]» [cn.2]» _ [Stn] 2 [33n.l] 2 [6».2]^ 

 [aa] "*"'îï^ïr" + "[««-2] "[»*] [SBS8. 1] [@©.2] l ^gj 



= [w»] — [nn.3l. i 



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