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des Sciciicoi de Saint - Pi'tersbourg. 



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Durch Reohnimu 



y.x 



y-g. 

 y 'h 



x :c 



x:q 



x:k 

 x:x 



in Y 



q:c 



q : k 

 k:c 



Durch gcuaue 

 Messung. 



= 144 4 144 20 



= 140 48 140 49 20 



= 134 11 54 134 13 



= 160 7 30 160 8 



= 174 8 27 174 8 30 



= 164 29 164 



} =140 15 140 15 



= 154 15 5.7 154 16 30 



= 169 52 2 169 52 



= 144 7 59 144 7 50 



Sur le théorème de Poisson et son réciproque. 

 Par A. Korkine. (Lu le 20 avril 1871.) 



On démontre dans les traités de Mécanique Analy- 

 tique que, 9 et 4» étant deux intégrales quelconques 

 d'un système canonique, la fonction (<p, ty) en est éga- 

 lement une intégrale. Mais la proposition réciproque 

 de ce théorème célèbre n'a pas encore été démontrée. 

 Il est remarquable, qu'en supposant que l'expression 

 (9, 9) devienne une intégrale d'un certain système 

 dont 9 et 9 sont deux intégrales quelconques, on est 

 obligé d'admettre la forme canonique de ce système. 



Je vais démontrer dans cette note les deux théorèmes 

 en les réunissant dans une seule démonstration. 



Quand il s'agit des intégrales d'un système d'équa- 

 tions de la forme 



dx _ d*i _ te, _ 



dx* 



A t -2C> 



(I) 



x, x x , x. 2 ,. . .x n étant les variables et X n X 2 , . . . X n 

 leurs fonctions, on peut considérer l'équation corre- 

 spondante aux différences partielles 



0,-(2) 



dv 

 dx 



X 



dv 



x 



dv 



1 àx { " " 2 dx 2 



-t-X — : 



n dx n 



dont les intégrales appartiennent au système (1) et 

 réciproquement. 



Je me servirai ici constamment de l'équation aux 

 différences partielles au lieu du système qui lui cor- 

 respond. 



Cherchons d'abord quelles sont les conditions né- 

 cessaires et suffisantes pour que la formule 



v ^1-,-V — -4- 



1 1 dx. ~ + ~ * 2 dx. ' " 



àx t ' ""■ - àx 2 



Y — 



nàx„ 



dont le coefficients 



Y Y Y 



x ll ± 21 ■ ■ ■ ■*■ n > 



sont des fonctions de x, a;,, x. 2 , . . . x n , devienne une 

 intégrale de l'équation (2) pour toutes les intégrales 

 v de cette équation. 



En adoptant l'algorithme de Jacobi, désignons les 

 expressions 



v dv 



dv 

 dx 



Xàv 

 a "S — 



■ or, 2 àx 2 



y,ïl + yJ v 



■ i àXi 



- dx, 



_ Y — 



nàx„ 



respectivement par 



X(v), Y(v); 

 nous aurons identiquement pour toute fonction v*) 

 X(Y(v))-Y{X(v)) = 



[XiYJ-TiXfl 



dv 

 dx t 



[x^-ri.v.i 



dv 

 2 ' J àx« 



dv 



[XiYJ-YiXJ]^ 



}(4) 



^[Xdvi-rixj]^-. 



En supposant maintenant que v et Y (v) soient des 

 intégrales de l'équation (2), il viendra 



"" [z(5>-r(ay]*H-..l 



et comme v représente toutes les intégrales possibles 

 de (2), l'équation (3) ne peut avoir lieu qu'en faisant 



XiYJ— F(X 1 ) = 0, X(Y 2 )—Y{XJ = 0,. 

 X[Y n )-Y(X n ) = 6. 



Les conditions (4) sont donc nécessaires. 



Elles sont suffisantes, car en les admettant, on aura 



X(1»)-F(X») = 0, 



et en supposant que v soit une intégrale de l'équation 

 (2), on. obtiendra 



X(v) = 0, T(X») = 0, X{Y(v)) = 0. 



L'expression Y (v) est donc une intégrale de (2). 

 Passons maintenant h la démonstration du théorème 

 concernant les équations canoniques. 

 Désignons par 



t, Su îa» ••■ 2m« i J i» lh> ■ ■ ■ P m ( 5 ) 



*) Nova methodus etc. par Jacobi. Journal de Crclle t. LX p. 36. 



