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Bulletin de l'Académie Impériale 



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les variables indépendantes et supposons que l'expres- 



sion 



(d^ dv d^ dv 



dp~ x ~àq~x~*~ àpzàqo 

 \v, fj — ' 



! 



dty dv d<\> dv 



dq 1 àp x àq 2 àp z 



d<i> dv 

 àPm Hm 



d<\> dv 

 àq m dp m 



soit une intégrale d'une équation de la forme 



dv 

 dl 



, dv 



mdq~^ 



B, 



a dv 



dv 



A 



B„ , 



"P% 



dv 



2àY 2 



dv 



m dp m 



(6) 



pour toutes les intégrales v et <\> de cette équation. 

 Je suppose que les coefficients 



A 1 ,A 2 ,...A m ,B ï ,B 2 ,...B n (7) 



^ m \( dAi 



ji= i LW^ dPi j dq^ \ àq^ dpi ) àp^J 



Ces équations étant satisfaites par toutes les inté- 

 grales <]) de l'équation (7), elles sont des identités, et 

 l'on aura 



dA 



0A L 



dB„ 



àB t 



djj . àBp 



UJ H ^f£ __ A ^>_ u _^f _ Q 



àPp. d Pi ' d 1i d V ' dq \>- ' dl 'i 



0,(9) 



i et [x étant deux nombres quelconques de la suite 1 , 

 2, 3,. . . m. 



Les trois équations (9) prennent la place des équa- 

 tions (8) et représentent les conditions nécessaires et 



soient des fonctions des variables (5), et je vais cher- suffisantes pour que la formule (v, *) soit une inté- 



cher leur forme. 



Désignons la formule 



dv 

 dl 



a dv 



dv 



-B, 



u l àq t ' ^àq 



dv 



B, 



dv 

 àPz 



73 dv 



-*- B„ 3 — 



,(8) 



par A (y). 



En vertu des conditions (4) nous aurons 



pour toutes les valeurs 1, 2, 3, . . .m de i. Or de l'é- 

 quation 



,4.(40 = 



on déduit, en la différentiant par rapport à p t et q ( , 



\ d Pi) ~ M = i V àpi àq^ ~ ' dpt àpj ' 



-Am=*r 



dqi-dqy. dq t àp^ 



On a encore 



grale de l'équation (G). Leur intégration fournira les 

 valeurs les plus générales des coefficients (7). 

 Les équations 



dA{ àA^ __ A dBjL 



ïPi' ' dpi 



"V- 



donnent facilement 



A — — 7? 



»' _ àpi ' D i 



fi=0 

 àq». 



dM 



L, M désignant des fonctions arbitraires des varia- 

 bles (5). Faisons 



et l'équation 



deviendra 



M=K—L, 



dAi | àB„. = 

 àq». à Pi 



d*K 



dp,; àq^ 



0. 



De là on obtient, 



K=f(t,q 1 ,q 3 ,. . . q,„)-^^(t,P 1 ,p 2 ,. ■ .pj, 

 9 et u étant des fonctions arbitraires. Cela étant on 



aura 



A.. 



dL n 

 dp,' D i 



dL 

 àqt 



dE 



àqt 



dL i)tp 



àqt àqt ' 



(A V\=T n ( d Ai à±_à_Aj^ 



'' Y |J.= 1 V^'^JA ^ d 2|J./' 



(B <Lï=/I m ^A* _àB j d4 L \ 



En substituant maintenant ces expressions dans les 

 équations (8) il viendra 



Soit maintenant 



H=--L — <$> (t,q x ,q 2 ,. . . qj; 

 on obtiendra définitivement 



dH 



àPi 



4 VU. -r\ VS3. 



A< = ^r, B^-j- 



àH 

 dq t 



En vertu de ces valeurs l'équation (6) s'écrira sim- 

 plement 



