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Bulletin de l'/tcad^mie Impériale 



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vant la corde AB. Si x, y, 



M, celles du point [i seront: «'= ■£, y'= ^, .?' 



sont les coordonnées de 



df' 



par conséquent ^, |^, |^ seront les projections sur 

 les axes coordonnées de la vitesse du point [i.; cette 

 vitesse est égale et parallèle à l'accélération i\, et 

 dirigée dans le même sens; v^cU est donc un élément 

 de l'arc ab. Cet élément, suivant l'énoncé du théo- 

 rème, doit contenir une masse de densité - : par con- 

 séquent l'élément de masse est dt, et la masse totale 

 distribuée sur ab est égale à la durée du mouvement T. 

 Le centre de gravité C de cette masse est donc dé- 

 terminé par les coordonnées: 



T T T 



\,\x'dt, ^fy'cfô, ^\M. 



u n 



La seconde et la troisième de ces coordonnées s'é- 

 vanouissent, parce qu'on a ?/ = et s' = pour t = 

 et aussi pour t := T; ainsi le point C se trouve sur 

 l'axe ^x, c.-à-d. sur la corde AB, et sa distance à l'ori- 

 gine -4 est • 



AC 



j,^x'dt = 



T ' 



d'où l'on tire T ^=^ -^ t 



q. f. a. 



On peut considérer la longueur AC, en grandeur et 

 en direction, comme la moyenne des vitesses qu'acquiert 

 pendant T la projection de M sur la corde AB. 



Le théorème que nous venons de démontrer ne peut 

 guère servir à faciliter l'intégration des équations du 

 mouvement ; on peut pourtant en tirer des conséquences 

 utiles. En voici quelques-unes: 



1) Si l'accélération v^ est constante en grandeur et 

 en direction, le hodograplic ab est une droite; alors la 



sant M, lancé dans le vide avec une vitesse initiale 

 Aa. La vitesse initiale et la position B du mobile à 

 l'instant T étant données , on pourra déterminer le 

 point G par l'intersection de la corde AB avec une 

 verticale menée par l'extrémité a de la vitesse ini- 



A 7? 



tiale ; cela fait, le rapport ^^ déterminera la durée du 

 mouvement T. Si l'on donne la durée T et la vi- 

 tesse initiale Aa, on pourra trouver la position du 

 projectile à l'instant T par la construction suivante: 

 par l'extrémité a de la vitesse initiale, on mènera 

 une verticale; on portera ensuite sur cette droite une 

 longueur ab = Ti\; le milieu de cette longueur don- 

 nera le point C; enfin menant la droite AC et portant 

 sur cette droite une longueur AB = AC . T, on trou- 

 vera le point demandé B. 



2) Soit encore ilf un corps pesant qui tombe sans 

 vitesse initiale dans un milieu résistant, la résistance 

 de ce milieu étant une fonction donnée f{v) de la vitesse 

 V. Dans ce cas le liodograpbe ab est une droite 

 verticale Ab. Si l'on désigne par g l'intensité de 

 la pesanteur, on aura v^ — y — f(vY, la den- 

 sité de la masse distribuée sur Ah sera donc 

 ; par conséquent la masse totale ou la du- 



rée du mouvement s'exprimera par 1 intégrale 



I. 



dv 



h-f{^) 



La distance du centre de gravité de cette masse au 

 point initial A sera déterminée par la formule 



u 



vdv 



de là on tire 



masse distribuée sur cette droite a une , densité con- 

 stante, c.-ù-d. qu'elle est homogène; le centre de gra- 

 vité C se trouve donc au milieu de la droite ab. Ce 

 cas se présente dans le mouvement d'un jnojectile pc- 



AB = AC.T= \- 



vdv 



-/w 



On a ainsi immédiatement pour le temps et l'espace 

 des formules, que l'on déduit ordinairement des équa- 

 tions du mouvement par l'élimination de l'élément 

 du temps. 



3) Quand AB — 0, cq qui arrive quand le mobile 

 décrit pendant T une courbe fermée, on a 



AB 

 T 



AC 

 et le point C tombe en A. 



-0, ' 

 Réciproquement, quand le 



