561 



des Sciences de Saint -Pétersbour.g: 



562 



de la terre, et par c l'excentricité de l'orbite, on a 

 les formules connues suivantes: 



u 



:= <]j -t-f/— sin (t]j -f- r/)— (t}< — ,7) -»- sin (4»— r;) 

 e cos (? = cos 4*- 

 sin {^) = |/'I^ 



(I) 



où la quantité x désigne la distance réciproque des 

 extrémités des raj^ons- vecteurs r et r. 



Éliminant les quantités 4* ft f/ de la première de 

 ces formules à l'aide des deux dernières on arrive di- 

 rectement à l'équation de Lambert. 



2. Nous déduirons maintenant la relation entre les 

 quantités données du problème et la demi-axe a de la 

 manière entièrement différente. Pour ce but posons 



— ^, = sin 6) 

 r -\-r 



r-i-r' . o. 



— — = surA, 



nous aurons les valeurs 



sin(-^j = sinXV^l -i-sin« 



~^^ = sinXy'l — sin 



Si l'on remarque maintenant que 



et que l'on met cette valeur dans l'équation précé- 

 dente, on trouve après quelques réductions faites 



^k , dt (-1/ 1- 



: COSX — = COS«| 1/ j— r 



' da 



1/ 1 — sinti» > 

 Y l + tang^Xsino))' 



(r + r')- ""* ^^ i-tang^Xsiuû) " P' l + tang^Xsinoif 



Pour les astéroïdes la quantité tang^X est peu diffé- 

 rente de l'unité; ordinairement elle est moindre que 

 l'unité. En posant donc 



tang-X = 1 -+- [jL 



on arrive, après quelques réductions, à l'équation sui- 

 vante: 



^k ^ dt 1 -«- sinu 



(r-^-r'Y 



, dt 



cos X . y- = 

 «M 



sni 



M 



, smo 



desquelles nous déduisons 



cos {^^] = cosXyf— tang^Xsii 



cos \^^\ = cosXy 1 H- tang'^Xsînu. 



Si l'on différentie partiellement ces dernières for- 

 mules par rapport à <\), fj et «, en regardant X comme 

 une quantité constante, et, que l'on multiplie les ré- 

 sultats obtenus respectivement par les formules don- 

 nées plus haut on obtient 



sin^X (-,/ 1-i-sinto -, / 1 — sinw \ 



= r COS O < 1/ T 7 5^^ 1- 1/ 5r-^ }. 



cosX (Y 1 — tang^X sin (0 f 1 h- tang^A sin uj 



Mais la première des formules (1) donne 



}_Jc dt _ ^:„2( 'i'-i-g \(d^-i-dg\ -..g/^-.gX ( d<l> — dg \ 



2 J du) — ^"' V 2 ) \ do> ) ~ ^"^ \~^~) V~di^ /' 



par conséquent on a 



\_ k dt 

 '2~,d<à 



sin'X 

 cos 



-cnsof-l/ l-«-sino) , l/ ^-s in 

 ' ( y l-taug^Xsiuu y l-Htaug^X 



sinca 



Soient : 



ou aura 



ik 



V 1 — (X tang (1) sec co (1 -i- sin u) 



1 — sin (i) 



y 1 -•- H tang (1) sec 01 (1 — sin u)' 



, dt 

 cos A . 1- = 

 au 



Sin 6) : 



tang^M 

 1 



1 —a 



" tyi — |ji^(i- 



vT 



\IZ 



1 — a)) 



En développant le second membre de cette équa- 

 tion en série procédant suivant les puissances de la 

 quantité [j.^, et en la divisant par 2 on trouve 



1 -t- - [j.^ 



;i-4-a)2— (1— a^2 



2k . dt 



-^cosX^-. 



2a 



\ 1.3 ., o((l-f-a 



f-(\-«-f 



2a 



1.3.5...(2n-l) n.nTr 

 2.4.6. ..2n ^ ^ '^ni 



ou 



ild 



■«r 



Évidemment la fonction V^ ne contient que les 

 puissances paires de la quantité a; elle est 



■j-r »w-l (re+l)n(«— 1) 2 



•^n "" "]~ "* iT273 °'"" 



Mais on a 



(m+1)w. . .(w— 2r-f-l) -ir 

 1.2 (2r-+-l) " 



1 ■+■ tang^u - 1 



tang^to s ' 



Tome XX. 



d'où il suit qu'en mettant cette valeur dans l'expres- 



efi 



36 



sion de la fonction F„ on arrive à la série finie 



