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Biilletiit de l'/%cadémie Impériale 



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Vn = Qo-*- Q^l^ Qzj^^ ■■■-*- Qpi-*-- ■■ ■' 



où le coefficient général Q est 



.^ "^(w-i- l)n(«— ))■■ .(w— 2r-Hl) r(r—i)...{r—p-t- 1) 



^P j^ 1.2.3 (2r-i-l) ■ 1.2 p 



On doit prendre pour r successivement les nom- 

 bres entiers r:= p, r =p -t-l . . . . jusqu'à r = y, 



quand n est un nombre pair; et jusqu'à r = ^^^ dans 

 le cas contraire. Par conséquent on obtient 



y. _ («-t-l)w(«— 1). , .(n-2p->-l) i , i n—2p)(n—2p—\)(p-*- 

 ^p~ 1.2.3 (22)-4-l) \ (2p-+-2)(2p-t-i) 1 



(«— 2j)) (n— 2p — 1) (n—2p—2) lfi—2p—Z) {p-t-V) (p-*-2) 

 '*'(2p-i-2) (2p^Z) (2p-\-A) (2p-*-i) ^\ 2~ 



{n-2p) (n-2p-\)...{:n-2p-'2q+\) (p+l) (p+2)...(f+q) 



1) 



(2p+2]{2p-y-Z) (2^+22+1) " 1.2 q 



..}. 



Le terme général de cette expression , après avoir 

 divisé le nominateur et le dénominateur par le produit 



ip-^l) {P-+-2). . . ip-t-q), 



s'exprime, comme il suit: 



1 {(n-2p){n-2p-2)..{n-2p-2q-2)\ {(w-2p-l)(M-2i)-3)..(w-2;3-23+l)} 



2Î (2p-i-3)(2p-i-5)..(2i)-+-23-i-l) 1.2.3 q 



Si l'on y pose, quand w est un nombre pair, 



n — 2p = — 2a, n— 2p — 1 = — 2^, 2p-i-3 — 2^, 



le coefficient en (juestion se présente sous la forme 

 qui suit: 



a fa -H 1)... (a -+-2- 1) . P (p -t- 1). . .(jj -h g — 1) 



Y(Y-+-1)...(Y-H'Z-1) l.i: 



il est donc évident que la quantité Q s'exprime par 

 une série finie hypergéométrique que l'on désigne or- 

 dinairement par la fonction 



Fia, p, Y, X) 



X étant le module, et dans le cas actuel, il est égal à 

 l'unité, et l'on aura 



n _ (« -^ 1) » {n -l)...{n-2p'l-l) -r, o .,, n 



Si n est un nombre impair, on obtiendra le même 

 résultat, mais la quantité a remplacera celle de ^ et 

 vice -versa, ce qui n'altère pas la fonction F. 



Mais les séries liypergéométriques ayant le module 

 égal à l'unité peuvent être sommées facilement. En 

 efi'et on a 



p^„ o ,, n _ ^' (y) r (y - (3 - g) 



^ \^, P) h '^j — r(Y_p)r(Y-a)' 



le signe F étant le symbole des intégrales ouleriennes. 

 En y mettant les valeurs des quantités a, ^ et y 

 relatives au nombre pair n, on trouve 



F{ 



r(i)-+-i-t-|)r(n-iJ-Hi) 



Remarquons que, pour le nombre m entier et positif, 

 on a 



r{k-t-m) = 'k{k-¥-l). . .{k-t-m—l)T{k), 



k étant une quantité quelconque; dans le cas présent 

 on Sik= \; il suit donc qu'en désignant avec Gauss 

 le produit 1 . 2 . 3 . . .« par ti: {h) et en y admettant 

 que la fonction tz est infinie pour h négatif, et elle 

 devient égale à l'unité pour h^=0, nous aurons 



f(«,P,ï,i)= "X;:\;!:7' 2--'', 



ensuite 



"p TI (» — 2p) Tt t2J) " 



La fonction F„ devient donc 



F = "'V/> -. 2''-'P cot^^^w. 



n Tz{n — 2p) TC {p) 



En posant dans cette formule successivement p = 

 0, 1, 2. . . jusqu'à p = *^., quand n est un nombre 



pair, et jusqu'à p = ^^^ , quand n est un nombre 

 impair, on trouve 



7^^ = 2" -f- ("^') 2"- ^ cof^« ^ (^^-1' 2"- '■ cot*6) 



{n — 3) (w - 4) {n — 5) ^n — B ,.,^x6,, . 



Le dernier terme de ce polynôme est égal à cot"o, si 

 le nombre n est pair, et il devient égal à (w-+- l)cot"~'6) 

 dans le cas contraire. 



Si l'on met cette valeur dans l'expression de ^ 

 donnée plus haut, on obtient 



^ cosX . £ = 1 -*- 1 i.(2tg=6)) -t-1^^ ix^(tg=«-i-4tgV>) 

 (r-Hj-')^ 



-^l4^«l^'(4tg''«H-8tg«6)) 



2.4.6 



■2^8i^'(^g""-'- i2tg'«H-lr.tg''«)- 



1.3.5...(2n-l) „ ,„ p, 

 2.4.6... 2n t^ 'b '^•'^n- 



