565 



des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



560 



L'intégratiou indiquée dans cette formule s'accomplit 

 facilement en remarquant que l'on a 



Jtang-"M du, = -^^^^ g^^^^^g- -t- . . . 



Cette série peut être avantageusement employée, 

 lorsque la quantité « est assez petite, ce qui arrive 

 le plus souvent. Mais dans le cas exceptionnel où la 

 quantité « est assez grande, il faut recourir à l'expres- 

 sion finie. Pour la trouver remarquons que 



o = tgu — 1^ tg^w -t- i tg'o — . . . 



^ ' ( 2n -H 1 2ji -4- 3 ) 



d'où l'on tire , en comparant cette expression à la 

 précédente, la valeur suivante de l'intégrale mention- 

 née plus haut: 



(-i)"jtg^»«f?«=«^tg«-H^tg''«-...H-(-irç^. 



Eu se servant de cette dernière formule nous obte- 

 nons l'équation suivante: 



2U 



0-+-ilJ.|2(tg«-M)j 



—, cosX 



4^li-1-3(tg"-")-^!tg='a,î 



.i;|^^lt«i4(tga>-«)-|tr«H-|tg=«} 



1 3.5.7 __4 

 '2.4.6.8 " 



1G 



ll.V5(tg"-")H-|tg^«-|tg'0H- -" tg'6) 



-Hi:^-^lt=|G(tg«-«)-2tg^«+|tg^«-H'-V"} 



2.4.6.8.10' 



(2) 



Lorsque la quantité m est petite, le cas le plus fré- 

 quent, on doit se servir de la formule suivante pour 

 calcule!' la valeur de X: 



2W 



cosX = 



(r-»-r')' 



(3) 



6,-^-il.(|tg^«-|tg=^«-4-|tg'G)-...) 

 H-~Fatg'« + ftg'«-|tg'«-4-...) 



-H2^H-^(|tg^"-^4tg'a>-f tg«a>H-. . .) 

 -^.fclxil^'Utg'"-Ttg'"-|tg««-H...)-.... 



La série qui compose le second membre de la for- 

 mule (2) est pour la plupart fort convergente à cause 

 de la petitesse des quantités o et (i., de sorte que la 



détermination de la valeur de X ne présentera aucune 

 difficulté. La première approximation de la quantité 

 X que nous nommons \ se déduira de la formule 



2kt 



- COSXfl 



(4) 



(r -H r')^ 



A l'aide de la valeur de X^ tirée de cette équation on 

 trouvera la seconde approximation en tenant compte 

 de quelques premiers termes du second membre de la 

 formule (2) après y avoir mis la valeur approchée de 

 X dans l'expression de \x. qui est 



ix = tang^X — 1 =^ sec^X — 2. 



(5) 



Le procédé d'arriver à la valeur de l'inconnue par 

 les approximations successives, employé universelle- 

 ment, présente néanmoins des difficultés assez sé- 

 rieuses. Il est facile d'en trouver la raison. En effet 

 la série (2) que nous écrivons plus simplement comme 

 il suit: 



ilf cos X = o -»- A]}. -+■ B]y -4- . . . , 



peut conduire à de longs calculs, lorsque les coefficients 

 A, B . . . ne diminuent pas rapidement, c'est-à-dire 

 lorsque le temps t écoulé entre les deux observations 

 de l'astéroïde est très grand. Dans ce cas la première 

 approximation qui sera fournie par la formule (4), 

 quoiqu'elle puisse beaucoup approcher de la valeur 

 exacte de X à cause de la petitesse de la quantité [j., 

 ne sera néanmoins propre à servir comme point de 

 départ pour la seconde approximation. Il est évident, 

 que, dans le cas où \x. est négatif, la première approxi- 

 mation \ sera trop faible ; la seconde obtenue à l'aide 

 de la première deviendra trop forte, et les api)roxi- 

 mations subséquentes seront alternativement trop pe- 

 tites et trop fortes par la raison que dans la série qui 

 donne la valeur de cos X on n'introduit pas, dans la 

 quantité [j., la valeur la plus approchée de X , mais les 

 valeurs -limites de cette quantité. On pourrait arriver 

 au résultat final plus rapidement en faisant usage de 

 la moyenne de deux approximations précédentes pour 

 déduire l'approximation subséquente. Mais ce moyen, 

 quoiqu'il abrège considérablement le calcul, n'est pas 

 suffisamment expéditif. Le procédé suivant donne d'un 

 seul coup la valeur exacte de X. Ayant trouvé les 

 deux premières approximations X^ et Xj on doit choisir 

 les trois valeurs X,' X" et X'" équidifférentes, mais con- 

 tenues dans les limites X^ et \. A l'aide de ces trois 



36* 



