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Bulletin de l'/%cadëniie Impériale 



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valeurs arbitraires de X on doit calculer les quantités 

 correspondantes de o par la formule 



a = Mcos X — A^ — B]s? — . . ., 



ce qui nous fournira trois valeurs particulières de cj. 

 De ces dernières on formera deux différences pre- 

 mières et une différence seconde. En posant 



X = X"-Hg, 



on trouvera | par la formule d'interpolation. Peut- 

 être ne sera-t-il pas inutile d'illustrer le procédé ex- 

 posé plus haut par un exemple tiré de l'ouvrage de 

 Gauss «Theoria motus». 



Nous empruntons de cet ouvrage (page 93) les va- 

 leurs de j-, }-' et 2f se rapportant à l'astéroïde Cérès; 

 le temps correspondant t était égal 259,88477 jours. 

 Des valeurs y données nous déduisons 



o = 31°29'27;'125 



et la formule (2) réduite en nombres nous a fourni 

 l'équation suivante: 



= 0,5496194 = 0,7477825 cosX — 0,0629621 [j. 



— 0,044105 [i2 _ 0,0260511.^ — 0,02004 [x* 



— 0,016ii.'— . .. 



La première approximation Xj trouvée par la formule 



(4) donne 



\= 42°41'; 



la seconde calculée à l'aide de celle-ci conduit à la 



valeur „ , 



X, = 43°38'. 



La valeur exacte de la quantité X étant contenue 

 entre ces deux limites nous choisissons les trois valeurs 

 particulières 43°0,' 43°20' et 43°40' de cette quan- 

 tité , pour lesquelles nous calculons trois valeurs 

 correspondantes de o ; nous trouvons respectivement 

 = 0,5544072, o = 0,5503362 et «=0,5461893. 

 L'excès des ces valeurs sur la valeur vraie donne 

 -*- 0,0047878 , -1-0,0007168 et —0,0034301; 

 d'où il est évident que la valeur vraie de X tombe 

 entre les limites 43°20' et 43°40'. En posant 



X = 43°20'-4-| 



et en prenant les différences premières et les secondes 



on trouvera au moyen de la formule d'interpolation, 



la valeur 



1= 3,484 = 3 29;'04 



par conséquent la valeur de X sera égale à43^23'29^'04. 

 La valeur plus approchée est X = 43^^23' 29^'00 et la 

 différence 0"04 est insignifiante. 



Lorsque le temps t écoulé entre les deux observa- 

 tions est plus faible, ce qui a lieu pour la plupart, le 

 procédé exposé ici à l'aide de la formule d'interpo- 

 lation fournira toujours la valeur définitive de X. 



3. Quand on connaît la valeur de X, le calcul des 

 éléments du mouvement elliptique est très simple. 

 Mais avant tout nous devons montrer de quelle façon 

 on doit trouver la valeur de l'angle o au moyen des 

 données r, /et 2f du problème. Voici les formules 

 dont on pourra tirer o: 



COSO =^ 



p COS f 



sin o = sin/"]/] -»- {-^^ cot /")'; 



mais il est plus avantageux de calculer o à l'aide de 

 la série suivante qui converge rapidement: 



1.3 



/■-t. j Ç cot /■ — i^ Ç^ (cot f -H \^ coff) 

 -4- ;-4^Ç3(cot/--i- I cotY-*- i cotY) 



(6) 



ou 



(r'-,f 



La distance moyenne a se déduira de la formule 



«=( — ) 



1 



(7) 



La demi-différence g des deux anomalies excentriques 

 e et e', et la valeur de l'angle 4» doivent être calculées 

 à l'aide des formules 



sni 



sni 



4" 



2 



* —g 



V2 sinX cos (45 — 

 1/2 sin X sin(45 — I). 



(8) 



De la valeur connue de g et de celle de ^ on trouvera 

 l'excentricité e et la demi-somme G des anomalies 

 excentriques par les formules 



c cos G = cos ^ \ 



esinG = L~/_ , j 



donc on aura 



r —r 

 2a sin g' 



(9) 



(10) 



^ = G — g^ 



t'= G -h- g. i 



Le mouvement moyen n doit être calculé au moyen 

 de la formule 



