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fies Scieitce!» de ISaiui^Pëies'sSioiirg. 



i>3 4 



Die Wcrtlic von T, f/, V finden sich in don disqu. 

 art. 10 durch p und g dargcstcllt, es ist 



C^T = Dh'- — 2D'hh'-*- 2D"6' 



C^U = — Dah'-^ D' (ah'-^ ah) — T)"ah 



CW = Ba!'— 2T)'aa'-^^ T}"(f. 



Demnach ciiialt man, wcnn nocli ziir Abkiirzung gc- 

 setzt wird 



die Glcicliung 



s_ 



Dièses S vcrwandelt sicli aber durcii Einsetzung 

 der Wertlie von C"T,. . . in folgenden AusJruck: 



S=D(Aa'+Bh'f-2D\A(!'-^nh') (A<(-'^Bh)+ D'\Au+Bhf, 



also wird 



i)c'-— 2D'cc'h-DV 



02 



inid liicnnit schliesslicli : 



^ P _ Jig - 2D'F-i- D"E 

 Ir — • 3 



A' 



Yorstcliendcn Ausdruck der mittlcrcn Kriimmung 

 habe icli in ciner im Jalirc 1SG3 als Gelcgenheits- 

 scbrift liicsiger Universitiit gedruckten Abbandlung 

 {de curmd'ura supcrficicrum quacstioncs) entwickelt; da 

 jedocli diesc Abbandlnng den mcisten Lescrn gcgen- 

 wartigcr Zeilcn unbckannt gebliebcn sein niag, so 

 scliien es mir nothig, die dortige Herleitung hier zu 

 wiedcrliolcn. 



Sind nun di(! Argnmonte p und q so gewaldt, dass 

 E= G und F— ist, so wird A — E" und 



2Tr-r=B'\-B", 



oder 



2E-P = ^ (a -H a") -•- 7? (p h- f) -+- 6^(T -•- f )• 



Es ist aber 



a2_H y^^ c"= a'^-i-- V'-^ c- =- -B, ««'-(- hh'-\- cdr= 0, 

 daher: 



nrt- 



Hiernacli liât man: 



fla -H ?;,3 -»- CY 



2 (/)) ' "^ ' 2 da 



IdE 



2 cîî ■ 



0, 



folglicli auch: 



a (a H- a") -y-h{'^-+- P") h- c (y -f- y") = 

 fl'(a -+- a") -H ?/ ((3 -»- p") -H r' (y h- 7") = 0, 



also a -t- a" : p -.- (i" : 7 -I- y" = ^ : -Î5 : C 



oder wcnn m einen nocli zu bestimmeuden Factor be- 

 zeiclinet: 



a-i-a" = mAj ^-Hp" — wl>, y-»-y":=toC'. 



Diesc Werlhe in den obigen Ausdruck fiir 2E'~P 

 eingcsctzt geben: 



2E^P = m {A" H- B' -+- C") = «tE^ 



folglich m = 2P, 



rx -H a" = 2P^, p -»- p" = 2PZ?, Y h- y" = 2P0, 



daher 



4£"P- = (a -H a"f -t- (p -{- §")- -1- (y -^- y")' 



oder 



Dicse Gestalt niramt also der Ausdruck der mittlc- 

 rcn Kriimmung an, wenn die Argumente p und q so 

 gewàhlt wcrdcn, dass E=^G und F— ist. 



Es licgt nun nahe zu versuchcn, wie siclî dicscr 

 Aiisdruck bcniitzcn liisst zur Losung der Aufgabc: 

 durch cino gegebcne Curvc aile môglichon Flàchcn 

 zu Icgcn, dcren mit f 1ère Kruimnung gleicli Null ist. 

 So viel ieh findc, fiihrt cr jedoch nur zu derjcnigen 

 Schaar der Fliichon von vcrlangtcr Art, auf wclcheu 

 die gegebcne Curvc, nachdcm p und q den Bedingun- 

 gcn E~G und F-~0 cntsprechend gewiihlt sind, 

 eine Curvc von constantcm q ist. 



Damit die mittlerc Kriimmung gleich Null sei, miis- 

 sen nach Vorstehcndem folgende Bedingungen erfiillt 



^^'■'^^^= E=G, F=0, 





d-x d-x 



d-y d"y 



d^~^â4-'~^' ûf-'^dq'- — ^' diJ-'dq^ 



0, 



ri-5 



0. 



Es sei p der Bogen der gegcbencn Curvc , von ei- 

 nem belicbigen Anfangspunkte gcziihU, oder auch eine 



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