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ICiilli'fiii de r,4ead^inic> liniiëriale 



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Function des Bogens, und die reclitwinkligeu Coordi- 

 naten des zu p geliorigcn Punktes der Curve seien 



Alsdann lasson sicli die Coovdinateii der gcsucliten 

 l'iucho davstellen, wie folgt: 



2y = 92 (p + qi) ^- 9., {p - 2?)-^ ? i4'2(P-' 5»'- l'a'i^- ! ?> ''■ 

 2s = %(p-^qi)-^03{p-qi)->-i\'\>3iP-*-q>)--'^siP-'^ï'''\- 



Diesc Ausdriicke stellen réelle Wertlic der Coordi- 

 naten dar, die fiir 3 = in die Coordinaten der ge- 

 gebenen Curve iibergelien; sie gcnugen den Bedingun- 

 jjen ^'^, H- "P^ = 0, . . . . und zwar auf die allgemeinste 

 Weise, iiidem die erste Hillfte rerliter Iland eiiie ge- 

 rade, die zweitc cine uiigerade Function von q dar- 

 stcllt; es bleiben also nur nocli die Bcdingungen E=G 

 und F= zu erfiillen. Dies gescliielit durcii zweck- 

 niilssige Bestimmung der Functionen <\). 



/ur Al)kiir/.ung wordc gesetzt: 



p -t- qi = u^ p — qi = v 

 9,?.{ -H i'\)^^ = /■, (M , i) = fi n, 



eben so: 



9,i« -4- '%(,=-- />, 9,,y — i^_p = Fc,v, 



93?( H- 'fif^u = /;«, 93?; — i^■i^f' = F^v ; 

 so liât man 

 2x = f,u -4- F,v, 2y = /oM -+- /'>, 2^ = /> -^- F,s, 



eben so fiir n und z\ daher durcli Addition der Qua- 

 drate : 



4E = (/-/m -h F^vf-^ iUu -+- F^vf^ (f^n h- F»" 

 — AG== (f.'u - Flvf-*-(f:u — F^f-^ {fin - F^vf. 



Fcrncr folgt fiir F: 

 4F= i {{f.'uf-^if^ufMf^uf-iF.'vf- (F^vf- [F^vf]. 



Aus don vorigen Cfleichungen aber folgt: 



Da nun F=- und E—G — sein soll, so muss 

 man habeu: 



{f;uf -4- (f:uf ^ {f;uf = o 



{F;vf-^{F;vf-^{F;vf^Q, 



oder ausfiiln'liclier gescliriebcn: 



(9j'?< -h vi];,'?f)- -+ (92''H -H ï'^j^/'W)" -+- (93'?* -*- «4'3''^/ = ^ 

 (9/« — ?.<]>,'?;)- -I- (9/?; — i^ôvf -H (93'v — '^a'?^)" = 0. 



Schreibt man in der zwciten dieser Gleichungcn 

 — q fiir 3, so verwandelt sicli v in m und die zweite 

 Gleicliung geht ilber in folgende: 



(9,'î< — i'^^uf -*- (9/^ — «'l'a'"') "+" (Vs'"' — '^/'O" = 0, 



wclclie mit der erstcn Gleichung (in u) fiir jedes com- 

 plexe Argument (i( oder v) zusammcn bestehen muss. 

 Daller unterliegen die Functionen <|>,' ?«, . . folgenden 

 Bedingungen 



9/» . 'l'i'W -f- 92'« . 'l'/^ +- 93'M . «jjnV = 0, 



welclie allgemein fiir jedes beliebigo réelle oder com- 

 plexe Argument erftillt werden miissen. Da nur zwei 

 Bedingungen fiir drei unl)estimiute Functionen <!^ vor- 

 liegeu, so stellen die gefundenen Formeln eiiie uncnd- 

 lichc Mannigfaltigkeit oder vielraehr die Gesammheit 

 aller derjenigen Flaclien von mittlercr Kriimmung 

 = dar, welclie sich durcli die gegebene Curve legen 

 lassen iintcr der cinsclirankenden Bedinguug, dass die- 

 ser Curve ein constanter Weitli von q angelioren soll. 



Dieser constante Wertli von q ist im Vorstelienden 

 iinmer = gesetzt worden ; es ist aber klar, dass zur 

 Kinfiiln-ung eines anderen AVertlies r/ von q nur nothig 

 sein wiirde, q — (f fiir q zu schreibeii. 



Naclulcm die drei Functionen <]>,'«, '^ôii, ^.^u den 

 obigen zwei Bedingungen auf irgcnd einc Weise ent- 

 sprechend gewahlt sind, criuilt man nocli: 



2E = fin . f;v h- f:u . f:v -+- f;u . f;v 



oder 



2E=^-^ (9„'« -4- î^Ij» (9> - i^y) fiir «=1,2,3; 



also fiir E oine réelle und positive Grosse, wie erfor- 

 derlicli. 



Uni von 4»,'''* '"iiif 'l'i" iiberzugelien, bedarf es nur 

 einer einfaclion Intégration nacli q. Denn wird ^^u in 

 einen rcellen und einen imaginaren Tlieil zerlegt, also 

 gesetzt: <]j,'«t = M' -«- iV'/,, ^^v = M'—N'i, so folgt: 



