Konstruktionen znr Blattstellungstheorie. 257 



ecke läßt sich dadurch charakterisieren, daß die Punkte Aj und C2 

 sowie Ci und Bg Nachbarpunkte geworden sind. 



Wir stellen uns die Aufgabe, zu den beiden Figuren eine 

 ganze Figurenreihe herzustellen, so daß das Größenverhältnis 

 zweier auleinanderfolgender Figuren immer gleich ist, und daß 

 zW'Si aufeinanderfolgende Figuren immer in derselben 

 Lagebeziehung stehen. 



Zu diesem Zwecke verkleinern wir die Figur Ib mit Hilfe 

 von Strahlen nach dem Punkte M wieder auf die Hälfte. AiB^Ci 

 geht dabei über in A2B2C2; aus A2B2C2 erhalten wir A3B3C3. Die 

 beiden kongruenten Dreiecke A2B0C2 der Figur Ib sind in Figur Ic 

 zur Deckung gebracht. Damit haben wir 3 Glieder unserer Figuren- 

 reihe erhalten und könnten nach demselben Verfahren beliebig 

 viele weitere Glieder konstruieren. 



Wir suchen aber eine andere Methode, die rascher zum Ziel 

 führt. Beim fortgesetzten Verkleinern ziehen sich die Figuren 

 allmählich gegen einen Punkt zusammen, das Zentrum unserer 

 Konstruktion. Es ist möglich, dieses Zentrum direkt zu kon- 

 struieren, sobald die beiden eisten Figuren unserer Reihe gegeben 

 sind (Fig. Id). Dazu dienen die Apollonischen Kreise a, b und c, 

 die sich im Zentrum Z schneiden. Kreis a ist der geometrische 

 Ort aller Punkte, deren Abstände von Aj und Ag sich verhalten 

 wie 2:1; entsprechendes gilt für die Kreise b und c. Für die 

 Abstände der Dreieckspunkte von Z gilt: 



ZAi : ZA2 = ZBi : ZB., = ZC^ : ZC2 = 2 : 1. 



Ferner läßt sich beweisen, daß die Winkel AjZAg, B^ZBg und 

 CiZCaCFig.ld) gleich groß sind; wir nennen diesen charakteristischen 

 Drehungswinkel den Divergenz winkel des Systems, und können 

 uns die Überführung einer Figur der Eeihe in die folgende nun 

 auch in folgender Weise vorstellen (Fig. le): 



Man halbiert im Dreieck AiB^Cj die Strahlen A^Z, BjZ und 

 CjZ, erhält dadurch das ähnliche Dreieck A'ß'C (gestrichelt); 

 dieses dreht man, indem man den Pankt Z festhält, um den 

 Divergenzwinkel. Gleiches Verkleinern und Drehen führt zu allen 

 folgenden Gliedern der Reihe. 



Zur raschen Durchführung der Konstruktion ist es praktisch, 

 zunächst alle Punkte A zu konstruieren (Fig. If), indem man den 

 Strahl ZAj um den Divergenzwinkel dreht und halbiert; man 

 erhält den Punkt A2 und aus demselben in gleicher Weise A3, 

 A4, A5. Denkt man sich Drehung und Verkürzung des Strahles 

 als gleichzeitige, gleichmäßige Bewegung, so durchläuft der Punkt A 



