BULLETIN 



DE L'ACADÉIIIE LIIPERIILE DES SCMCES DE ST.-PÉTERSBOURG. 



Note sur l'attraction exercée par une couche 

 matérielle trés-mince sur un point de sa sur- 

 face, par J. Somoff. (Lu le 12 décembre 1SG7.) 



Soit une couclie matérielle comprise entre deux sur- 

 faces, dont la forme est quelconque, mais qui doivent 

 satisfaire à la condition que l'épaisseur de la couche, 

 c.-à. -d. la portion de la normale comprise entre les 

 deux surfaces, soit très-petite, et que les plans tan- 

 gents des deux surfaces aux extrémités de cette por- 

 tion fassent un angle très-petit. Si les éléments maté- 

 riels de cette couche attirent un point 31 de l'une des 

 surfaces en raison inverse du carré de la distance, et 

 que l'on n'a égard qu'aux éléments, auxquels on peut 

 mener du point Jf des rayons sans rencontrer l'une ou 

 l'autre des surfaces de la couche, la résultante des 

 attractions, dues à ces éléments, sera dirigée suivant 

 la normale au point 31 à la surface, sur laquelle se 

 trouve ce point, et aura pour valeur le produit de la 

 densité de la couche au point 31 par la circonférence 

 d'un cercle dont le rayon est égal à l'épaisseur. Ce 

 théorème, dii à Laplace, est d'une grande importance 

 dans la théorie de l'atti'action. — M. Chasles a déter- 

 miné au moyen de ce théorème l'attraction exercée 

 par une couche homogène, infiniment mince, comprise 

 entre deux ellipsoïdes semblables. M. Résal, en ex- 

 posant dans son Traité élémentaire de Mécanique cé- 

 leste (Paris 1865), la méthode de M. Chasles pour 

 calculer l'attraction des ellipsoïdes, observe (pag. 144) 

 que dans quelques Traités de Mécanique on donne une 

 ■démonstration de ce théorème qui paraît très-simple, 

 mais qui est inexacte, car dans cette démonstration on 

 néglige une longueur infiniment petite du même ordre 

 que l'épaisseur de la couche. Il donne ensuite une dé- 

 monstration qui n'est pas sujette à cette objection, 

 mais qui est trop longue. La note que j'ai l'honneur 

 de présenter à l'Académie contient une démonstration 

 plus simple et aussi rigoureuse. 



Nous supposons en premier lieu, que toutes les 

 sections de la surface qui contient le point M avec , 

 des plans normaux menés par ce point sont des cour- [ 



Tome XIII. 



bes convexes à l'extérieur, c.-à.-d. qu'elles ont leurs 

 centres de courbure sur la normale intérieure. 



Soit E3IF l'une de ces sections, C son centre de 

 courbure; 3IE et 3IF des tangentes à la section cor- 



respondante de la seconde surface; r un rayon mené 

 de 31 à un point quelconque de la couche, o l'angle 

 de ce rayon et de la normale MC, à l'angle que fait le 

 plan de ces deux droites avec un plan fixe mené par 

 3IC, et p la densité de la couche que l'on peut sup- 

 poser constante. Cela posé, la résultante des attrac- 

 tions exercées par les éléments de la couche sur le 

 point 31 pourra être exprimée par l'intégrale 



P=ç/s'm(fCos<fdrclfd'\) (I) 



Il s'agit d'appliquer cette formule à la portion de 

 la couche limitée par le cône D3II3I' dont le sommet 

 est en 31 et qui est circonscrit à la seconde surface 

 et à la portion extérieure au cône. 



Dans le premier de ces deux cas il faut prendre 

 l'intégrale par rapport à r entre les limites r = o et 

 r = 3IA; ensuite par rapport à cp entre les limites 

 a>;=o et (^^CMD, enfin par rapport à t]^ entre 

 (jj = et 4" = 2r. Le résultat de la première inté- 

 gration sera 



P= p /?sin9Coscpf?9rf']> (2) 



oîi r=^3IA. Après cela il sera plus avantageux de 

 remplacer dans l'intégrale relative à ç cette variable 

 par r. 



En négligeant les iufinement petits de l'ordre su- 

 périeur à l'épaisseur 3IM':^t, on peut poser CB=C3I 

 etAB = 3I3ï=z; par conséquent, si l'on désigne par 



