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Bulletin de l'Académie Impériale 



Pi, le rayon de courbure Jl/C, on aura BC=B, ÂC=^ 

 Jî — e; de plus, le triangle A31C donne 



(E — zf = Il--t-r-—2Ercoso, 

 d'où l'on tire 



C0S9=5^H-(l — 2^)f, 



— sinçf^? = [à— ( 1— â) rj^^'" 



rsin9C0S?rfcp = [|l — ^] ^ — 41^2]^^- 



L'intégrale de cette expression prise entre les limites 

 r = s et r=MD qui répondent aux limites ? = et 

 (^ = BMC, sera 



/rsin(pcos9rf9=(^l — 22?) \^~7)~'Ï2^^*'^'~^^^ ^^) 



où »• = 3ID. Négligeant les infiniment petits de l'or- 

 dre supérieur à t on réduit ce résultat à 



y/'siuççosçdç ^= e, 



par conséquent l'intégrale (2) devient - 



:p£ 



d'\) = 27upe 



(4) 



Pour appliquer la formule(l) à la portion de la couche 

 extérieure au cône D3IF, il faut intégrer par rapport 

 à r entre r = o et r=MB, ce qui donne encore pour 

 résultat la formule (2), dans laquelle il faut poser 

 r = MB et 9 = BMC. En négligeant les infiniment 

 petits de l'ordre supérieur à e, on a dans ce cas 



dr 



^•^^^ = 212' sin9rf9 = — 2^; 



[r'^dr 



par conséquent 



fr sin9 cos 9^9 = — 



dr 

 I 4ÏÏ2' 

 •^ ME 



12E2' 



or cette valeur est infiniment petite par rapport à 

 MD' qui est du même ordre que e. Par cette raison 

 l'attraction due à la portion de la couche extérieure 

 au cône BMF est négligeable par rapport à (4). 



Ainsi l'expression (4) est la valeur totale de l'at- 

 traction exercée par la portion de la couche qui con- 

 tient tous les éléments auxquels on peut mener du 

 point M des rayons sans rencontrer la surface de la 

 couche. 



Supposons maintenant que toutes les sections de 

 la surface qui contient le point M avec les plans nor- 



maux menés par le point 31 sont concaves à l'exté- 

 rieur. Soit EMF l'une de ces sections, et C son centre 



de courbure. Dans ce cas la portion de la couche pour 

 laquelle il faut calculer l'attraction exercée par elle 

 sur le point il/, est le segment BMIM', compris entre 

 la seconde surface D3I'F et le plan tangent à la pre- 

 mière au point ill. Pour appliquer à cette portion la 

 formule (1) il faut prendre l'intégrale par rapport à r 

 entre les limites r = et r^^BIA et par rapport à 9 

 entre 9 = et 9= if. Le résultat de la première in- 

 tégration sera encore exprimé par la formule (2) où 

 l'on doit poser r = MA. Quant à l'intégrale relative 

 à 9 , elle peut être remplacée par une intégrale rela- 

 tive à r prise entre les limites r = e et r ^= 3ID. 



Négligeant les infiniment petits de l'ordre supérieur 

 à £, on peut faire CB=B, AB = z et 



{B -H sï" = E' -t- r' -H 2E/- cos 9 ; 

 d'où l'on tire 



cos9 = (lH-^)j — 2^, 



sin 9fZ9 = [(1 -^- ^i ) ,-2 -+- à] (^r ; 

 par conséquent 



fr sin9 cos9rf9 = J [(}-*- i^f'^—^'] ^'' 



Si l'on néglige les infiniment petits de l'ordre supé- 

 rieur à e, on réduit ce résultat à 



y?sin9C0S9rf9 = e, 

 et par suite on aura encore 



P = p-: ^9 = 27i:çe . 



i 



L'expression (3) ou (5) se réduit encore à e dans le 

 cas où le rayon de courbure B est infiniment grand. 

 En effet, il est évident que dans ce cas les valeurs de 



