25 



don l^cieiKM'M de Saint -Péicrsbourg;. 



3<i 



Mitwirkung fies atraospliiirisclien Wasscrs erfolgten 

 Auflôsung verschwaiiden , gewinnt durcli Herrn 

 Lcrch's Entdeckung an Wahrscheinlichkeit. 



Hr. Lerch fugt noch eine dritte Gale ftir die aka- 

 demisclie Sammluug hiiizu, eino Probe selir l'ein- uiid 

 kleiiibliittrigen Wascligoldes, das die Sarten aus eiuer, 

 im Flussthale des Tlschirtschik, oberliaib dessen Mun- 

 dung, in der Nâhe der Festung Tschinas, vorkom- 

 menden Goldseife gewinnen. 



Da Hr. Lerch durcii die Darbriugung dieser Ge- 

 genstande einen wolilbegriindeten Anspruch auf die 

 Erkenntiiehkeit der Akademie hat, so erlaube ich rair 

 die ergebene Bitte, dass dieselbe ihm sehriftlicb aus- 

 gedruckt werde. 



5. Marz 18G8. 



Sur quelques formules qui résultent de la com- 

 binaison des résidus quadratiques et non- 

 quadratiques des nombres premiers; par M. 

 Bouniakowsky. (Lu le l'J mars 18G8.) 



Convenons, dans ce qui va suivre, de désigner par 

 p les nombres premiers de la forme 4m h- 1 , et par q 

 ceux de la forme An -+■ 3. Tous les résidus quadra- 

 tiques d'un nombre premier p peuvent être représen- 

 tés, indifféremment, par l'une des deux différences 



li^ — Xjj ou "kp — u^, 



X étant déterminé de manière à ce que chacune d'elles 

 soit positive et inférieure à p. Chaque différence four- 

 nira les ^^ résidus compris dans la suite 



1, 2, 3 p—\, 



et les ^^ nombres restants seront les non -résidus 



de^. 



Si l'on range par ordre de grandeur ces résidus et 

 ces non-résidus, et qu'on représente la suite des pre- 

 miers par 



r. H- /•. 



p — 1 



'2 > — I 



— 1 



?; 



■p-\ 



?j -«-?„_, ,= 





'D 



-i_i' 'e. 



et celle des seconds par 



P., P'i ?/;. 



J. _ 1 ' ^y — <' 



Pour ce qui concerne les nombres premiers de la 

 forme 4» -+- 3 , leurs résidus quadratiques peuvent 

 être représentés par la formule 



M/* — \q , 



et leurs nou-résidus par la suivante: 



Xg — u^, 



\ étant déterminé comme plus haut. De plus, en ran 

 géant par ordre de grandeur tous les ^^ résidus 



les termes successifs de ces deux suites satisferont, 

 comme on suit, aux conditions suivantes: 



VzJ_,' g-< 



2 *■ 2 



ainsi que les 



g-l 



non -résidus 



'a • • • • ?fy — 1 ) ?J — 1 ' 



ces nombres r^ , r, pi , p» seront liés cntr'eux 



par les égalités 



rg — 1 

 2 



fp — 1 



2 



P. 



De ces notions élémentaires on déduit, avec la plus 

 grande simplicité, différentes identités curieuses rela- 

 tives à des sommes de plusieurs carrés, ainsi que des 

 égalités qui contiennent la fonction numérique géné- 

 ralement représentée par E{x), et qui désigne l'entier 

 maximum compris dans x. Nous allons présenter 

 quelques unes de ces formules, d'abord pour les nom- 

 bres premiers de la forme 4m -h 1 que nous venons 

 de dénoter par p. 



Pour p = 13. La considération des résidus 



1, 3, 4, 9, 10, 12 

 et des non-résidus 



2, 5, G, 7, 8, 11 

 conduit aux égalités: 



2-- 



3'^ 

 12^ 



13, l(V--Hll'=--2-H-3''-i-8' 



10- H- 11-= l--i-2''-»-3'--*-4 



■' Hf)^- 



G--»- 



12^ 



9\ 



r -+■ 9- =5(1-1- 5'-j = 1' H- 5- -H 2 (4' -I- G-) etc. 



