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Bulletin de l*/%cadéniBe Ein|»ëriale 



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Pour p = 17. De l;i combinaison des résidus qua- 

 dratiques 



1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 



on déduit 



r^ H- 4'^ = 1 7, fi^ -y- T = 1 - -+- 2- H- 4-' -t- 8^ 

 1V4--4-(î--h7^=:2V3V5V8", 2-'-h8-= 2 (3 ^5') etc. 



Si, de plus, ou prend en considération les non- 

 résidus de ce même nombre 17, nommément 



3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 



on arrivera entr'autres aux égalités 



9Vl5'^ = 6-H-7--*-10'-Hll-, 12-+14^=3V5^-h9^-h15^ 



92 _t- 1 2'^ -H 1 4^-+- 1 5^ = 1 0'^ -H 1 1' -4- 1 3- -H 1 6^ 



1 3^ -♦- 1 6^ = 6'^ -H 7' -.- 1 2' -t- 14- = 



= l2_j_ 22_^. S'' -4- 4^-+- 5'^ -t- 6-^-*- 7' -+-8^ H- lO^-i- 1 1^ 



3^-^-5^=2(1^4'), 9'-t-15'=2(2'-.-6V7'^-8-) etc. 



Voici encore deux relations dont chacune contient 

 tous les résidus et tous les non - résidus du nombre 

 premier 17: 



1^ ^_ 4^ ^_ 6'^ -I- 7- -H 10' -1- 1 1- -r- 1 3'' -+- 1 G- 

 ::^^2h_3V5--h8V9V12V14V15' = 748 = 44.17, 



12 -H 42 _H 9' -H 1 3' -t- 15' -+- 1 6- = 



= 2'+ 3V 5'-H 6'-H 7'-.- 8V lOV 1 1'+ 12'h-14' = 



=^748 = 44.17. 



Nous observerons en passant que chacune des 

 sommes des carrés qui vient d'être écrite, est divi- 

 sible par 17. Cette observation est générale: quel 

 que soit le nombre premier de la forme 4 h -4- 1, 

 les sommes des carrés qui forment les membres de 

 toutes les égalités déjà obtenues et de celles que 

 nous allons présenter, seront toujours congrues à zéro 

 suivant le module premier qui s'_v rapporte. 



Pour ne pas trop multiplier les exemples , nous 

 ne ferons entrer dans les formules qui vont suivre 



1- H- 2- -+- 5- H- 1 2' =: 3' -t- 4- -1- T -H 1 0', 

 lV3V7VllVl2'-^lo' = 4V6V8V9-H-10Vl4', 

 32h_72=2(2'-i-5'-), 11'h-13' = 2(1'-i-12') etc. 



Vom p = 37. 



r-^^ 6'= 37, 15'-+-- 16-= 2' -H 3'-i- 12'-+- 18", 



9'-+- 1 7' = 1 --h- 3--H 6'-+- 1 8' = 4'-^- 8'-h 1 1'-+- 1 3' = 



= 5'-t-7'-+-10'-4-14-, 



4' -I- 1 3' = 8' -4- 1 1- == 1' -4- 2' -H 6' -.- 1 2', 



2'^ H- 3' -H 5'-.- 7'-t-12'-Kl5'-4^16'-f-18' = 



= 42 _^ S' --H 9' -4- 10' -H 1 1' H- 13' H- 14' -I- 17', 



2' -4- 1 2' = 2 (5' -f- 7'), 9' -4- 17' = 5 (5' -4- 7') etc. 



Pour p =: 41. 



hi — 



41, 



9.2 



H- 14' = 6' -1-13', 



que les carrés des 



v-i 



premiers nombres de la série 



l,2,3...._p— 1. 



Pour p = 29. 



2' H- 5' = 29, l'-4-12' = 8'-t-9'. 

 6' -H 14' = 1' -4- 2' -4- 3' -4- 5' -+- 7' -I- 1 2', 

 1 1' -4- 1 3' = 1 ' -4- 2' -»- 4' -H 5' H- 1 G' -4- 1 2' = 



= 1 'h- 8'-H 9'-+- 1 2' = 3'-4- 6'-i- 7' -4- 1 4', 



7 ' -+- 1 9 ' = 1 1 ' -4- 1 7 ' = 1 ' -+- 2 ' -H 9 ' -+- 1 8 ' = 



= 3'-4-6-'-i-13'-4-14'. 



Les trois relations suivantes contiennent tous les 

 ^-^^ = 20 premiers nombres de la suite naturelle: 



l^^H 2'h- 6'-^ 7'-4- 9'h- 1 l'-f- 13'-.- 17'+ 18'-+- 19' 

 = 3'+4'-h5'-h8'-.-10' + 12'+14'-+-15'-h16'-.-20' = 

 = 35.41. 

 1^^ 72^ 8' -4- 9' H- 10'-+- 1 l'-H 1 2'-H 1 5'-i- 1 7'-f- 1,9' 

 = 2'-H 3'-h 4'-H 5--^ 6'-.- 1 3'-+- 1 4'-H 1 6'-+- 1 8'h-20' = 

 = 35.41, 

 pH- 2' -^ 6'-4- 8'-f- 9' -4- 10' -4- 1 3'^- 16'-<- 18'-h 20* 

 = 3'h- 4'-+- 5- -4- 7'-H l I'h- 1 2'-H 1 4--H 1 5'h- 1 7"-+- 1 9' = 

 = 35.41. 



Nous n'avons fait entrer dans les équations précé- 

 dentes que les carrés des nombres qui ne dépassaient 

 pas la limite ''— ^; mais on obtiendrait avec la même 

 facilité des formules comprenant les carrés des nom- 

 bres aussi grands qu'on le voudrait, tout en conser- 

 vant le même module ji>. Ainsi, par exemple, la com- 

 binaison des résidus du nombre premier jj = 5 , con- 

 duit entr'autres aux équations 



1' -4- 43- =15- -4- 16' -+-37', 



r^ H- 42 _^ 2 3' = 2' -I- 9' -+- 1 0' H- 1 9-, 



dont la première a pour membres des sommes de car- 



