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des Sciences de Saint -Pf^tersbourg. 



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rés divisibles par 5, et la seconde des sommes non- 

 divisibles par ce module. 



La combinaison des résidus et des non-résidus des 

 nombres premiers do la fiirme 4 h -+- ;> fournit de 

 même des relations entre dos sommes de carrés; en 

 voici quelques exemples. 



Pour q = 19; 2'- -*- 4" -i- 5' -h 6' = 9^ 

 Poii/r q = 33; ô'^ -f- 14- = 10" -h 1 1'. 

 .Pour q = 31; 5^ -h 30- = 1 ^' -h 27^ 

 27'=2'-+-10-'-h25-, 12--+- 15'= 2^-4- 13'-»- 14' etc. 



Sans nous arrêter davantage sur ces identités nu- 

 mériques , nous allons présenter quelques formules 

 relatives à la fonction numérique E, formules qui se 

 déduisent, comme les précédentes, de la considération 

 des résidus et des non-résidus quadratiques des nom- 

 bres premiers. 



Convenons, pour abréger, de désigner la somme 



E<^{k,p)-¥-E<i>(k-t-\,p)-+-E(f{k-i-2,p)-t-...-t-E(p{K,p) 

 par la notation 



OU, plus simplement, par la suivante 



A' 



k 



en sous-entendant que la sommation porte sur la va- 

 riable entière ^. 



Cela posé, on aura pour les nombres premiers p 

 de la forme 4h h- 1 les deux formules suivantes: 



EVl?,-*-EV2.Vd-*-EV3A3- 



-£"1/12.18=100 



EVl7->EV2.17-i-EV3.l7-»-....->-EV\i\.l7 = l7G 

 EVT^) I EV'2729-t-EVT29-*- ....h .^1/28729- 532 



£;i/73-Hi!;y2.73-^7i; 1/3.73-.-. ...-t-.El/72.73=3480 



Les formules précédentes ne peuvent pas être em- 

 ployées pour des nombres composés de la forme 

 4h -H 1. Ainsi, pour le module 9, au lieu de la 

 somme 



46 = EV9 -t- iV 279 -1- ... -4- El/879 ; 



la formule (3) donne le nombre fractionnaire 45-^; 

 il est visible que la même chose arrivera toutes les 

 fois que le module sera un multiple de 3. La mérae 

 formule, pour le nombre composé 25, conduit à la 

 valeur 392, tandis que l'on a 



EV25 -4- EV2 .25 -f- . . . -4- EV2i. 25 = 394. 



"Voici encore deux formules qui contiennent la 

 fonction numérique E: 



%{f)= ^^'-v:-' ^ (4) 



24 



0>-i)(7^j-ir) 



24 



(5) 



SEV\>.p = 



SEVh} = 

 dont la somme donne 



SEV^P = 



12 



(jj _l)(2y-l) 



3 



(I) 

 (2) 



(3) 



Voici quelques exemples numériques de la dernière 

 formule pour j;= 13, 17, 29 



Eu prenant leur somme, on trouve 



'5'È(;;) = !.î^iia=^ 



Ainsi, par exemple, pour j;= 29, on a 



(6) 



Les équations (1), (2), (3), respectivement combi- 

 nées avec les égalités (4), (5), (6), donnent les trois 

 relations 





2 



SEV^ = 2SE(^) (7) 



