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Bulletin de I*.leadéniie Impériale 



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l'-i _ 



P-\ 



1 2 



'sEVv^ = '^SUi'') -^ {P - 1) 



(8) 



(9) 



Les mêmes principes fournissent dos formules ana- 

 logues pour les nombres premiers de la forme 4«-»- 3. 

 Ainsi, ou parviendra, eutr'autres, aux deux relations 

 suivantes: 



■;-3 



SEVm 



1 



'/-l 



5(t) 



(g-l)(3g-5) 



2 

 2 



(iO) 



if'(¥)-p(f)=(^r (Il) 



2 



Remarquons de plus que quelques unes des for- 

 mules précédentes peuvent être étendues à des nom- 

 bres qui surpassent à volonté le module premier que 

 l'on considère. Ainsi, par exemple, les formules (3) 

 et (6), généralisées, donnent respectivement 



SEViip = 

 1 



kp—ï 



Jc[ik'^p^ — 3(lc- \)p-i-2] 



P(f) = - 



{kp-l){2kp-i) j_ 



p-\ 

 o 



(12) 

 (13) 



1), 



(14) 



k représentant un entier positif quelconque. 



Pour les nombres premiers de la forme 4n 

 on aura, par exemple, cette identité 



(k-i-k')(j — l (k-i-k"}q—l 

 k'q-t-l ^J ' kq-i-\ ^ ^ ^ 



= [k' {k H- k) — k"(k -t- k")] q (kq 



k, k! et k" étant des entiers positifs quelconques. Au 

 reste, cette dernière formule, ainsi que la relation 

 (11), sont également vérifiées par les nombres pre- 

 miers de la forme 4;; -»- 1 . 



Dans un travail très étendu de M. Bougaieff sur 

 la fonction numérique E, imprimé dans le Recueil 

 mathémaiifiiie*), cet habile mathématicien a donné un 

 grand nombre de formules relatives à cette fonction. 



*) MameMamiiuecKiû CôopnuKi; Moti.Ba 18GG r. HncJioBbi>i lo- 

 /KecTBa, HaxOAamiacH b-b cbh3h ct, CBoficTeaMH cwMBOJia E; H. B. 

 ByraeBa. 



Parmi elles, on trouve celle qui porte le n" (11) dans 

 cette Note (p. 61); il pourrait se faire que quelques 

 unes des autres relations que nous donnons ici, soient 

 renfermées, implicitement, dans les formules du Mé- 

 moire en question. 



Nous terminerons en observant que les considéra- 

 tions précédentes qui se rapportent à des sommes de 

 carrés, peuvent être étendues à des sommes de puis- 

 sances quelconques en introduisant dans le calcul les 

 résidus positifs minima 



ir — lp ou Ip—ir, 



m étant un entier supérieur à 2 et le module p un 

 nombre premier quelconque. Ainsi, par exemple, en 

 prenant m^ 3 ei p=l , on tombe de suite sur les 

 identités 



6=* = 3^ -H 4^ 

 . 12^=4 V 



% 13 =rH-i 



-6^11^ 13V 14^=1' 



7^ 



H- 12', 

 3'-Hl7'etc. 



De la même manière que plus haut on arriverait, 

 dans le cas que l'on considère, à des formules qui 

 comprendraient la fonction E. 



Il est d'ailleurs visible que les relations numériques 

 entre des sommes, très nombreuses pour les carrés, 

 doivent deveîiir de plus en plus rares pour les puis- 

 sances supérieures à la seconde. 



Notice sur le chlorobenzile, par N. Zinin. 



le l'J mars 1868.) 



(Lu 



En poursuivant mes recherches sur les dérivés de 

 la benzoine, j'ai trouvé que le chlorobenzile est faci- 

 lement attaqué par les agents réducteurs ; dans sa 

 dissolution alcoolique il est transformé en desoxy- 

 benzoine par l'action du zinc et de l'acide chlorhy- 

 drique. 



La reaction est exprimée par l'équation 



C,, H,o OCl, H- II2 — CL = C, H,. 0. 



Le produit obtenu est presque pur et exempt de 

 toute matière étrangère. 



L'étain, qui réduit si bien les corps nitrés en dis- 

 solution dans l'acide acétique, agit aussi sur le chlo- 

 robenzile dissout dans le même acide. 



