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Uiillctiii (le rAcad<^niic Impériale 



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r clr do 



' (f>{a)da 

 Vx — a 



.(1) 



ce qui devient 



2' - 



n — v^=^ 



J O •'0 



1 



si l'on pose dans le premier membre « ^ =; r. Les 

 variables r et û peuvent être considérées comme des 

 coordonnées polaires d'un point m et le premier mem- 

 bre comme une intégrale double étendue à la surface 



I 



d'un cercle de rayon x^. Cela posé, si l'on désigne 

 par ^ et ri les coordonnées rectangulaires du point m, 

 telles que | = r cos (9, y) = r sin (9, et que l'on change 

 les variables r et en § et y|, le premier membre de l'é- 

 quation (1) se transformera en 



l'intégrale par rapport à x étant prise en Ire les li- 

 mites et 'Vx — ti et l'intégrale par rapport à t\ en- 



I 



tre et a;\ La première intégration donne 



I 



.Vo:— ï)2 



àl 



Va;~|2 



et la seconde 



f 



Ainsi l'équation (1) se réduit à 



par conséquent 



s=A«)= 



«p(a)(îa 

 'Vx — a 



(2) 



ce qui est le résultat trouvé par Abel. 



Concevons maintenant un point sollicité par une 

 force, qui a un potentiel «, et assujetti à se mouvoir 

 sur une surface donnée dont l'équation en coordon- 

 nées quelconques î^f/j, q% est 



-f'(2i,22,23) = o. 



Cette équation et une autre inconnue déterminent la 

 trajectoire du point. Si l'on y joignait l'expression du 

 potentiel %i en fonction de 2i, ^fs) ^'si on pourrait ex- 

 primer l'arc s de la trajectoire en fonction de u. Cela 

 posé, on peut trouver cette fonction au moyen de la 

 formule (2). En effet: en prenant l'origine de s de 



manière à ce que s diminue, quand t croit, on aurait, 

 par le principe de la force vive, 



As 



:= — 1/2' 



2m„ 



la vitesse initiale étant supposée nulle et % désig- 

 nant la valeur initiale du potentiel. On tire de cette 

 équation 



ds 

 du 



du 



V2u—'2t, 



pour l'expression du temps employé par le point à 

 décrire l'arc compris entre les surfaces de niveau 



K) et (M-i). 



Posant Wi — Mg = ffl et u — u^=-. a — x pour sub- 

 stituer la variable x à u, on aura 



V2 



ra^dx 



dx 

 Va — X 



Si cette valeur de t doit se réduire à une fonction 

 donnée <!• («f,) de îi^, on aura, en vertu de la for- 

 mule (2) 



9 (a) da 

 Vx — a 



où <p (rt) = y 2. «P (««,)-— y 2. <!>(««„-»- «), ce que l'on 

 peut encore mettre sous la forme 



y 2 ^{uijdui 



I Vu — v., 



J Uo ' 



Si la trajectoire doit être une tautochrone, on aura 

 pour y2.«I> (î«,) une constante que nous désignerons 

 par A. Alors 



du, 



S=:A 



Vît— 



L= = 2 ^ yM — M„ 



Notiz ûber Linaritkry stalle. Von N. v. Kokscha- 

 row. (Lu le 12 novembre 18G8.) 



In dcn diesjahrigcn Memoiren der Kaiserlichen 

 Akademio der Wisscnschaften zu St. Petersburg liabo 

 icli eine ziemlich ausfiilirliche Abhandlung iiber den 

 Linarit von Cumbcrland geliefert. Das Material , das 

 mir zu meinen Untersucliungcn diente, verdankc ich 

 der Giitc Seiner Kaiserlichen Hoheit Herzog Nikolai 

 Maximilianowitsch Leuchtenberg, der mir aile 

 Linarit- Excmplare aus seiner ausgezeichneten Samm- 



