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des Sciences de Saint • Pëfersbnurfi:. 



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(abccï) = ahcd i 1 



ab bc cd abcd) 



abcde ( 



(abcde) = 



ab bc cd de abcd aide bcdej' 



In his autem denominatoribus occurrunt primo facta 

 ex binis iiulicibiis contiguis, tuiii vero producta ex 

 binis illorum factorum, qui nullum indicem commu- 

 nem involvunt, tum seqiientur producta ex ternis, 

 quaternis etc. combinationibus, quae nullum impli- 

 cant indicem communem; unde ratio compositionis 

 jam fit perspicua. 



Hiermit ist das fragliche Gesetz sofort auf die ein- 

 facbste Weise gefunden und weitere Untersuchungen 

 dariiber scheinen nicht nothig zu sein. 



Bel Anwendung der bekannten Formeln auf ein 

 dioptrisches Linsensystem hat sich mir jedoch das- 

 selbe Gesetz in einer anderen Gestalt dargeboten, 

 welche auch nach der obigen Euler'schen Darstel- 

 lung noch einer kurzen Mittheilung werth scheint. 

 Werden nâmlich durch 



u' 



1 



die Brennweiten von n -t- 1 auf einer gemeinschaft- 

 lichen Axe gereihten Glaslinsen, durch 



t' 



t" 



t" 



fW 



die Entfernungen vom zweiten Hauptpunkte jeder 

 Linse bis zum ersten Hauptpunkte der folgenden be- 

 zeichnet, und setzt man 



se ist nach § 14 der dioptrischen Untersuchungen 

 von Gauss — y die Brennweite des Linsensystems. 

 Diesen dioptrischen Bedeutungen gemilss nenne ich 

 in dem vorstehenden Ausdrucke von k, t' t" t'" . . . 

 der Reihe nach die Abstilnde zwischen den Argumen- 

 ten u" und u', u' und u", u. s. w., daher auch t' -t-f 

 den Abstand zwischen u" und u", uberhaupt 



den Abstand zwischen m^"^' und îi^^'^''\ Fur die Dar- 

 stelluug von k gilt dann folgcnde Regel: 



Man verbinde die h -+- 1 Elemeute u zu Producten 

 von je 1, 2, 3. . . n-t- 1 Factoreu, auf jede niogliche 



Weise, ohne Wiederholungen, ordne die Factoren je- 

 dcs Productes nach der Reihe der steigenden Zeiger, 

 bilde fur jedes dieser Producte (U) aus den t die Ab- 

 stilnde zwischen je zwei in U unniittelbar auf einan- 

 der folgenden u und aus allen diesen Abslànden das 

 Product T, aus U und T das Product TU; so ist die 

 Summe der auf dièse Weise aus allen Combinationen 

 der u entstandenen Producte TU der gesuclite Werth 

 von k. 



Beispiel. 

 k = {ti' t' u' t" u" t" îi") = u' -!-«'-+- u" -+- u'" -t- 1' M» u' 

 -t- [f -t- 1") m" m" h- {t' -+- t" -4- t'") u' u'" -^ t" m' u" 

 H-(f-i-î)WM -t-r MM -\-t t lir U U 



. /'//" . flI'S ^fi «.' .,111 . 1*1 . iii\ till " '" 

 -\-t{t -t-t )U u u -t-{t -t-t )t u il M 



jif tf'i t II III ,' ,11 ,111 Q r ir ni 



-t- t t U U U -i-t t t u u u u . 



Man kann dièse Regel auch so ausdrucken: 



Nachdem die sammtlichen Producte aus den ti ge- 

 bildet und ihre Factoren iiberall nach steigenden Zei- 

 gern geordnet sind, setze man in jedem Producte zwi- 

 schen je zwei auf einander folgende u ihren Abstand, 

 d. h. die Summe der in dem Schéma (m' <'i/...J '"'«*">) 

 dazwischen beândlichen t, als Factor hinzu. So wiirde 

 in obigem Falle beispielsweise anstatt t'{t"-t-t"')ii%'u"' 

 zu schreiben sein: 



u''t'u'{t"-+-t"')u"'. 



Im Vorstehenden ist eine ungerade Anzahl von 

 Elementen vorausgesetzt worden. Ist die Anzahl der 

 Elemente gerade, so braucht man aus dem Werthe 

 von k nur die mit dem Factor u" behafteten Glieder 

 zu entnehmeu, deren Summe nach Weglassung von 



m" den Werth von l^ {t' u' t" u" 

 darstellt. Man erhalt z. B. 



<""»^">j 



dk 

 du" 



{t'u't"u"ru"') = \-i-t' m'-h It' -4- /") m"-*- {t'-+- /"-f- 1'") u'" 



-*- f t" m' m" -4- t' {t" .+- f") u' u'" -f- (f -t- t") t'" u" m'" 



-^t't"t"'îi'u"u"'. 



Auch hier besteht wieder dasselbe Bildiingsgesetz, 

 wenn nur zu u u u" cin erstes Elément u" hiuzuge- 

 daclit wird, welches in aile vorkommende Combina- 

 tionen der M eingefuhrt werden muss, schliesslich 

 aber wieder wegfiillt. 



Ist in obigem k eines der / glcich NuU, so trcten 

 die beiden danebcn stehendcn u in eine Stelle zusam- 

 men, da ihr Abstand gleich Null ist, und ihre Summe 



