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Bulletin de rAcadéinle Impériale 



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bildet eiu neues Elément. Dabei vermindert sich die 

 Anzahl der Elemente um 2. Es sei z. B. ^" = 0, so 

 wird {ut H Ou t u ) = (» t [u -f- H )r u ). 



Die Richtigkeit der Regel wird leicbt diirch einige 

 Beispiele bestatigt; ein vollstandiger Beweis kaun so 

 gefiihrt werden: 



Soll k 



{u''t'u't"u"....t^''^u^"H 



(«) /(« ■ 



■'>«*'"- 



nach obiger Regel gebildet werden, so unterscbeide 

 raan die Glieder, welche den Factor i*""^'' entbalten, 

 von allen ubrigen. Die letzteren ergebeu sich sofort 

 aus der Annahme i!*""^'> =: und ihre Summe ist mit- 



,(n-Hl) 



))=^n- 



dk.„ 



du("1' 



<n-H) 



hm{uH'u't"u"...r\u^"^- 

 Die in i^""^'' multiplicirten Glieder miissen aile aucb 

 den Factor tt^""^'' enthalten, da der Regel zufolge 

 ^ (»>-»-') jjjg Qfiue m'""*"'' auftreten kann; aile dièse in 

 ^ ("-•-<) j^(«-+-i) multiplicirten Glieder entstehen aber 

 durch Verbindung dièses Factors mit allen aus den 

 Elementeu uW u' t" u" . . . . t^"^ ?( *"' bervorgebeuden 

 Gliedern, deren Summe k^ ist; die fraglichen Glieder 

 geben also die Summe kj^"~^^'>'u^"'~*'^'' und man erhalt: 



dJc 



-f — K' 



,("-*-!). 



<("-*-''-«("- 



Derselbe Werth folgt aber auch nach der gewôhnlichen 

 Rechnungsweise; denn es ist 



folglich 



dk„ 



'^n' 



dM(«)' 



fc„ 



fc„ 



{Ki'"- 



dJc„ 



duC" 



u 



(«-*-') 



wie vorhin. 



Der wichtige Satz, dass die umgekehrte Anordnung 

 der Elemente den Werth von k nicht jindert, folgt hier 

 eben so unmittelbar aus dem Bildungsgesetze, wie 

 bel Euler. 



In der Euler'schen Form entwickelt, stellt sich 

 {ahcd. . .ï), wenn die Anzahl der Elemente n ist, als 

 eine Summe von 



(1 -I- ys) » ->- ' — (1 — Vs) "-^ 1 



2" ■+- 1 . y 5 



einfachen Gliedern oder Producten aus den Elemen- 

 ten dar; dièse werden nach der vorstehenden Regel, 



je nachdem n gerade oder ungerade ist, in 2'^ oder 



2 '^ — 1 Gruppen von einfacher und ansprechender 



Bedeutung zusammengefasst. So vereinigen sich in 



obigem Beispiele bei 7 Elementen 21 Glieder in 15 



Gruppen, bei 6 Elementen 13 Glieder in 8 Gruppen. 



Wenn der Kettenbruch in folgender Form vorliegt: 



Q = a^^ T 



so wâren die Theilzahler h erst auf Einheiten zu brin- 

 gen, um dann obige Regel anzuwenden. Nimmt man 

 einerseits aile l mit ungeraden, andererseits aile h 

 mit geraden Zeigern bis zu einer gevvissen Grenze zu- 

 sammen und setzt demnach: 



h^W. 



■ ^2n — l -"sn — 1' 



Kb,h 



2 4 6" 



"in — ^2n ' 



so ist 



Q = a-i- 



B, 



-Bl«2 



-B, 



-B, 



S, 



B, 



Ohne von dieser Umstellung Gebrauch zu machen, 

 bat Hr. Stern im lOten Bande des Crell'schen Jour- 

 nals (S. 5 und 6) das allgemeine Bildungsgesetz der 

 Zahler und Nenner entwickelt. Dièse Darstellung ge- 

 winnt noch an Einfachheit, wenn man sich dabei ganz 

 an Euler's Verfahren anschliesst. So z. B. giebt der 

 Kettenbruch 



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den Zahler 



-«2^^- 



«, ^, ^3 ■ 



^«2«3«4^ 



««,«2^4- 



aa,a,b, 



I 4 3 



««,«2 «3 «4' 



welcher sich auch schreiben lâsst wie folgt: 



{aa^a^asû,) {l h-;^ 



h, 

 a, a. 



iih 



-i — 



6.64 ^ 



&4 



a. 



aa^a^a^ aa^a^a^ a^a^a^a^ 



Hiernach ist jeder im Nenner vorkommenden Ambe 

 . «™ . . der Zahler h. 



gebildeteu Ausdriicken — 

 schrift zu verfahren. 



Dorpat im December 1868. 



, beizufijgen und mit den so 

 — — ganz nach E u 1 e r's Vor- 



