1^9 



des Science<« de Saint-Pétersbourg;. 



190 



■yi- 



p. 226), contient sur l'intégrale J ^^^ ^^'^ "" i'^" 

 sultat obtenu par Euler et qui est bien digne de 

 remarque. Il consiste dans la réduction de cette quan- 

 tité à l'intégrale d'une fonction rationnelle au moyen 

 de la substitution 



y = 



' U-/2 



et c'est, je crois, le seul exemple qui ait été donné 

 d'une telle transformation pour une expression dépen- 

 dant des intégrales elliptiques. 



Je me suis proposé, en étudiant ce résultat d'Euler, 

 de reconnaître s'il tient à la valeur particulière du 



c dx • ' 



module propre à l'intégrale ^ , ou si , étant 



d'une nature plus générale, il ne mettrait point sur 

 la trace d'une catégorie de formules 



f / (g-) àx 



réductibles par une substitution algébrique à l'inté- 

 grale des fonctions rationnelles. C'est en effet ce qui 

 a lieu, comme on va le voir par l'analyse suivante, 

 qui est très facile.» 



Au sujet de ce travail du célèbre mathématicien 

 fi'ançais je crois devoir rappeler qu'il y a plus de 17 

 ans, j'ai publié, en langue russe, un Mémoire intitulé: 

 Sur linéiques cas 'particuliers de V intéfjrahilité en termes 

 finis de la différentielle 



X -+- C'i _ dx^ 



x-^C, Vx*-i- Ax^ -<- B,x2 -H Cx -+- Z> ' 



ainsi qtie d'autres exiyressions analogues -). Dans cet 

 écrit j'ai traité dans toute sa généralité une catégorie 

 très étendue des différentielles de la forme 



F{x) 



dx 



15' 



Vx* ■+■ Ax^ ■+- Bx^ -t- Cx 



(^i^, représentant une fraction rationnelle) dont l'in- 

 tégrale peut-être exprimée par des fonctions al- 

 gébriques et logarithmiques, tant réeles qu'imagi- 

 naires. Ayant préalablement transformé le polynôme 



2) nihKomoimoyi uacvinuo'z c.iynuHsn umneipiipjCMOcnm ei ko- 

 nennoM^ ewhb dwjHjiepenuiia.'ia 



dx 



C, 



.■B H- C2 yx* -H Ax^ -H Bx- -^ Cx-t-D 



M djjyiuxz ewpaoKcniù nodoBnmo euda. (ïlim.-iomeHie J\5 2 Kt III 

 ToMy 3aniicoK-b Hmd. ARaxeMin HayKij, 1863 r.) 



X* -+- Ax^ -+- Bx- -t- Gx ■+■ D en m\ polynôme réciproque 

 z* -+- aè^ -\- hz^ -*- az -¥- 1 , et conservant la variable 

 ci-dessus x, je parviens, entr'autres, au résultat sui- 

 vant: 



L'intégrale 



'•/(x) dx • 



JF 



{x) Yg.* -H ax^ -t- bx^ - 



(1) 



s'obtient toujours en termes finis, algébriques et loga- 

 rithmiques, lorsque -J^. est égale à une fonction al- 

 ternée réciproque, c'est-à-dire lorsque la condition 



/(4) 



/M 



F(x) 



est remplie. 



Dans l'intégrale d'Euler 



•dxVl-i-x* ,\-\-x 



= 



(2) 



r axy 1 h- a," , i -h j" 



J 1 — X* " ' \—x* ' 



dx 



Vx*- 



considérée par M. Hermite, le radical Vx* -+- 1 à la 



forme requise, et la fraction 



1 —X* 



sous le signe 



satisfait évidemment à la condition (2); par conséquent 

 cette intégrale est exprimable en termes finis. Parmi 

 les exemples d'intégration, contenus dans mon Mémoire 

 cité plus haut, se trouve aussi l'intégrale d'Euler, 

 consignée dans ses Inst. Cale. Integr. (1776, T. I"V, 

 page 36.). 



De plus, dans le môme écrit j'ai étendu mes re- 

 cherches à certains cas dans lesquels l'intégrale (1) 

 est exprimable en termes finis, sans que la condition 

 (2) soit remplie, et je suis parvenu a un grand nombre 

 de formes particulières de la fonction sous le signe J 

 pour lesquelles, néanmoins, la dite intégration est 

 possible. 



Comme on le voit, la question traitée dans les deux 

 Mémoires, celui de M. Hermite et le mien, est la 

 même: la différence ne porte que sur l'analyse em- 

 ployée par chacun de nous. 



10 Mai 1880. 



Kritische Bemerkungen. Von A. Nauck. (Lu le 8 avril 

 1880.) „„ 



(Foi'tsetzung uud Schluss.) 

 II. A 583: aÙTtW sttîio' îXaoç 'OXJfXTCtoç effasrat 

 ■^[xw. Derselben Messung des Adiectivum 'Cha-oç begeg- 



