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des Sciences de Saint- Pëfersboupsf. 



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Die Formoln (11), (12), (13) (14) und (19) kônnen 

 zur Berecbiiung von ^^ gebraiicht werdeii vveiin die geo- 

 grapliisclieii Breiten B' und B" und die Litngendif- 

 ferenz X bekannt sind. Wenn nian in die Gleicliung 

 (19) statt X'o — X'o die gegebene Lange X setzt, so er- 

 bâlt man fiir Po eine genàherte Grosse, vermittelst wel- 

 oher luan 9', 9" und SX', 8X'' annâhernd berechnen 

 kann. Setzt man die auf solclic Weise gefundene Grosse 

 von X"„ — X'y = X — (SX" — SX') in ( 1 9 ), so erliiilt man 

 P(, in der zweiten Annilberung. Im Falle der Unter- 

 schied zwischeu den astronomisclien und geodàtiscbeu 

 Azimuthen so gross ist, dass man dessen Quadrat nicbt 

 vernachlassigen kann, so nuiss man zuerst aus den Glei- 

 chungen (17) und (18) x'^— ^'o und t\ — T", bcstim- 

 men und darauf SX' und SX" berecbnen. Die Winkel 

 «' — X' und «" — X" findet man aus Hansens Formel 

 fur M — X (Geod. Untersucliungen p. 25), und da man 

 bei diescr Bereclinung Pu, ?' ""d 9" niclit viJllig genau 

 zu kennen braucht, so kann man in der Gleichung (19) 

 e'j = s' und e", = s" setzen und sogar in den meisten 

 Fâllen die Glieder vcrnachlilssigen , wclclie s' und s" 

 enthalten. 



"Wenn 9' und 9" nicht mit binlânglicher Gcnauig- 

 keit bereclmet worden sind, so muss man zur Bestim- 

 mung der Lange s der kiirzesten Linic 9 aus dem sphâ- 

 rische» Dreiccke bcstimmen , in welchcra die Seiten 

 n„ — p' n^ — p" gegeben sind und der Winkel am Pol 

 0) aus der vorhergehenden Berecbnung von m — X ge- 

 nau bekannt ist. 



Differenzirt man die Gleichung (19), so criuilt man 



geuàliert 



... .. .;.. .... ^^ 



dpo _ 



SIU <i) .SIU » 



sin pQ cos Po 



Daraus sieht man , dass der Fehler mit welcliem po 

 aus (19) bestinnut wird kleincr ist als der Fehler in 

 X"o — X',1, Vt'enn sin o ri ^ sin m' . sin m" — eine Bedin- 

 gung, welche immer erfullt werden kann, ausgenom- 

 meu wenn o nabe gleich O" oder 1 80" ist. Ist X"„ - — X'„ = 

 180", so wird SX' = SX" = U und P,, = H. sein, und es 

 fâllt dann die kurzeste Linie mit dem Meridiaue zu- 

 sammen. "Wenn aber 5'=: B'\ so ist s', = e", und 

 die Gleichung (19) giebt 



Die geodâtischen Azimuthe der Endpunkte der kttr- 

 zcsten Linie werden nach Forraeln der sphârischen 

 Trigonométrie berechnet. Zur Bestimmung der astro- 

 nomisclien Azimutlie derselbcu Puukte konnen die For- 

 meln (3) und (4) dicnen. — "Wenn wir annehmen dass 

 auf dem Sphàroid zwei Punkte gegeben sind, deren re- 

 ducirte Breiten ^' , ^" sind und die Langendifï'erenz X, 

 dann wird das astronomisclie Azimutli x' des zweiten 

 Punktes, weiches im ersten Punkte beobachtct worden 

 ist, bestimmt durch die Gleichung 



tgT = 



sinXcosp'Vl — e^cos^p' 



cosp'siu?" — siuP'cosiy'cosX-4-c2cos(i'(8inp'— siup") 



(21) 



und das astrouomische Azimutli t" des ersten Punktes 

 im zweiten Punkte durcli 



„ siuÀc oa p'/l — e'cos^p " 



^ë"^ cos p". sin p'— 8iiiiî"Tcôsp'cos X-Hc2cos~P"(sin^" 



"— sin8'1 ^^^> 



-siup' 



Die Berechnung der Lange der kiirzesten Linie bie- 

 tct keine Schwierigkeit, wenn 9', 9" und ^o hinlânglich 

 genau bestimmt sind und kann nacli den Formeln aus- 

 gefiihrt werden, welche Hansen in den geodâtischen 

 Untersucliungen gegeben bat. Elégante Formeln zu 

 demselben Zwecke bat Jakobi in seiner Théorie der 

 Auflosung sphâroidischer Drciecke gegeben, welche im 

 53 Bande von Crellc's Journal publicirt worden sind 

 (Solution nouvelle d'un problème fondamental de Géo- 

 désie und Luther — Jacobis Ableitung seiner geodâ- 

 tischen Formeln), und da wir bei Berechnung der kiir- 

 zesten Linien Valencia — Orsk, Moskau — San-Jago 

 und Palermo — Christiania Jacobis Formeln benutzt 

 haben, so fiihren wir dieselben hier in Kûrze an. 



Setzt man in der Gleichung (1) k = e sin B(„ 



^ . so erhiilt man mit Jacobi 





— (X — X) — k . 



Sin rtw — x.dx 



sin i>Q ^ 



sin Po "~ 



und daraus 



2^i-_^0s _2ff .2E ._ / 4^(gi^^ 2.1;" - Sin2x') -4- 



-I- j^, (sin 4»"— sin 4«') -+- ^^ (sin 6a;" — 6a;') -t- . . . 



K und E sind vollstàndige elliptische Intégrale erster 

 und zweiter Gattung; zur Bestimmung von 





