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Bulletin de l'jlkcad^niie Impériale 



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beiden Eiulpunkte einer kiirzesten Linie die Azimutlie 

 iind die Lange dieser Liuie zu finden — welclies nicht 

 mit Hûlfe der fiir dm direkten Fall geltenden Fornieln 

 gelost werden kann. Mit dieser umgekehrteu Aufgabe 

 haben sich sowolil Puissant als Hansen beschaftigt; 

 von besonderer Wiclitigkeit sind die Untersuchungen 

 des beriihmten Astronomen, welcher dièse schwierige 

 Aufgabe vollstilndig gelost hat. — Indeni wir uns mit 

 demselben Problem bescliaftigten haben wir Formeln 

 gefunden, nacli welchen der Bogen §^ direct mit hin- 

 langlicher Genauigkeit berechnet werden kann, wenn 

 >i, ^' und p" bekanut sind , und welclie daiier auf das 

 umgekehrte Problem angeweudet werden kônnen bei 

 beliebiger Liinge und Riclitung der kiirzesten Linie. — 

 Die Ableitung dieser Formeln bildet den Gegenstand 

 der gegenwiirtigen Abhandlung. 



Nimmt man auf der kiirzesten Linie einen Punkt. 

 dessen Lange und reducirte Breite X'^ und p'„ sind und 

 legt durch denselben eine Normalebene zur Oberflàche 

 des Ellipsoids, welclie durch den Anfang der kiirzesten 

 Linie geht, so hat man zur Bestimmung des Winkels 

 t'„, den dièse Ebene mit dem Meridiane des erwàhnteu 

 Puuktes bildet, folgenden Ausdruck: 



tangT,, = 



siû X'o . C03 |3' Tl — e* cos''p'o 



r>(3) 



cos p'o sin §' — si n p'ocosp'cos X'o H- e''{ sin p'„ co3 |3'o — sin |î' cos P'q) 



in welchera die Lange X'o von dem Anfange der kiir- 

 zesten Linie gezilhlt wird. 



Wir nehraen nun noch einen zweiten Punkt auf der 

 kurzesten Linie in der reducirten Breite ^"o und Liinge 

 a"o, gezàhlt von dem anderen Ende dieser Liuio, und 

 legen eine Ebene durch die Normale dièses Punktes 

 und durch das Ende der kurzesten Linie; dann erhâlt 

 man den "Winkel t"^, ans der eben erwâhnten Normal- 

 ebene und dem Meridiane in diesera zweiten Punkte 

 aus der Formel 



tangT"o = 



sin X"o cos ?" . Vl — e'coB^p"o 



. (4) 



cnsP"oSiii?"— siuPVosP"cosX"o-H(>2(ainp'VosP"o— cns^'oSinP") ^ ' 



Die Winkel x'^, t"o sind die astronomischen oder 

 beobachteten Azimutlie des Anfangs und Eudes der 

 kurzesten Linie in den Punkten, deren reducirten Biei- 

 ten ^'o, (3"u sind und deren Lilngen X'„, X"o von den 

 Enden der kiirzesten Linie gezahlt werden. 



Setzt man in den Gleichungen (3) und (4) t'^^ 

 t';=90", so wird 



„_•),' cos p'o sin ?' -4- e^ cos p'p (sin p'p - sin ^') .f-s 



cos A(, — sin p'o . cos p' ^''' 



<^0^ '^ — 8inp"o-cosp" ^^' 



Bezeiclinet man mit ©'o, f'^ die Theile des Kreis- 

 bogens auf der Kugel , welclie den beiden Absclinitten 

 der kiirzesten Linie von dem Schnittpunkte des senk- 

 recliten Meridians bis zu déii Punkten \vo t'„ = t"o = 

 90" entspreclien, so ergeben die Gleichungen (2), (5) 

 und (6) 



r^'o 



cos P'q sin P' -+- e^ coa p'o (si n p q — sin ^ ')~\ ,«, 



tang iJQ 

 sin B,, 



V 1 — «2 sin^Up . sin'^q) 

 1 ■+- tang'^po • sin^ç 



= arc I 



cos 



sin p'o cos p' 



sin B,, 



arc cos 



tang Po , Vl — e^ sin^ Bq . sin'9 



I ' 1 -H tang^ po . sin-9 



•'<p"o 



cos p"o sin p"-t- e° cos p' p (sin p"o — sin p 



-](8) 



sinp"oCOSp" 



Das Intégral JrfX in den Grenzen von 9' bis ©'0 oder 

 von 9",, bis 9" wird durch einen Kreisbogen ausgedriickt. 



Es sollen nun die reducirten Breiten j3',j, p"o und die 

 Lilngen X'„, X"„ fiir die Punkte gelten, in welchen auf 

 der kiirzesten Linie die astronomischen Azimuthe rechte 

 Winkel sind, und wir bezeichnen die entsprechenden 

 Grussen von 9 und m mit ©'„, 9"o, "'d, «'O «nd der 

 geographischen Breiten und geodiitischen Azimuthe 

 mit B'o, B';„ T'ound 180" — T". 



Die astronomischen Azimuthe weichen von den geo- 

 diitischen Azimuthen uni Grossen ab, welclie den Qua- 

 draten der Excentricitiit proportional sind, wie Bessel 

 und Hansen bewiesen Imben. Wenn wir daher die oben 

 erwiilinten zwei Punkte mit dem Pol durch Meridian- 

 bogen verbinden, so erhalten wir zwei kleiiie spharoi- 

 dische Dreieckc, in welchen die Winkel T'o, T"^ von 

 rechten Winkeln uni Grossen zweiter Ordnung abwei- 

 chen. Die Ilypothenusen dieser Dreiecke sind gleich 

 r^ — B'y, TC,, — J5"o, diegemeinschaftliclie Seite^g — B^, 

 die Winkel am Pol beziehnngsweise X' — X'^ =; SX' und 

 X" — X"„ = SX''. Nimmt man nun auf der Kugel zwei 

 rechtwinkelige sphilrische Dreiecke, deren Hypothe- 

 nusen 7C3 — ^'0 und 7r„ — p"o sind, die gemeiuschaftliche 

 Seite ==; TTj — Po und die spitzen Winkel = T\, und 



