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des Sciences de Sain* - P^tepsbourg. 



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fiuden. Es ist offenbar iiicht latioiiell, ein osculireudes 

 System den Rechiiungen zu Grunde zu legen. Will man, 

 wie ich es fiir Diana getlian habe, die Stôrungen fur 

 einen laiigeren Zeitraum, oline die Elemeiite im Laufe 

 der Reclinimg zu wecliseln, erinitteln, so thut man ge- 

 wiss am besten, blos die Siiculariuiderungcn und die 

 wesentlich denselben Cliaracter tragende grosse Un- 

 gleiclihcit zu beriicksichtigen. Soll aber scharfer ge- 

 reclmet werdcn und ein und dasselbc System der Ju- 

 piterelemente nur kiirzere Zeit dienen , so wâre auch 

 ein Mittelwertli der periodiscbeu Stôrungen anzubrin- 

 gen. Aus diesera Grunde wilre eswiinsclienswerth, wenn 

 in den Epheraeriden ausser den Jupitercoordinaten, 

 in grôsseren Intervallen, etwa von 100 zu 100 Tagen 

 auch die mittleren Elemente desselben, nebst dera Be- 

 trage der periodischen Stôrungen angegeben wiirden. 

 Dièse Zahlen wiirden gewiss von vielen Astronoraen 

 willkomnien geheissen werden. 



Ableitung neuer Formein zur Aufidsung sphâroidischer 

 Dreiecke. Von A.Bonsdorff. (Lu le 9 avril 1885.) 



In der bekanntenAbhandlung» Analyse des triangles 

 tracés sur la surface d'un sphéroïde» bat Legendre 

 gezeigt, dass die Lange s der kurzesten Linie zwischen 

 zwei Puukten auf der Oberflache eines Rotationsellip- 

 soids und der Liingenunterschied zwischen diesen bei- 

 den Punkten bestiramt werden 

 Ausdriicke 



durch folgendc 



zwei 



= «_ii^^o rfcp y 1 — r sin^ £„ .lôiiV, (1 : 



d(f 





(2) 



in welclien a die grosse Halbaxe des EUipsoids bedeutet, 

 e die Excentricitiit, B^, die geographische und ^^ die re- 

 ducirte Brcite des Schnittpunktes der kiirzesten Linie 

 und des zu derselben senkrechten Meridians sind; o' 

 und cp" sind die Kreisbogen, welche auf der Kugel den 

 beiden Thoilen der kurzesten Linie zwischen deren En- 

 den und deni Fiisspunkte des erwahnten Meridians 

 entsprechen '). 



Es seien B', p' und T' die geographische und die 

 reducirte Breite und das Azimuth ira Anfangspuukte 

 der kurzesten Linie und B", p;' T"180°— T" die ent- 

 sprechenden Grôssen fur den Endpunkt derselben Linie, 

 dann folgt aus den Untersuchungen von Legendre, 



dass die Bogen ^r, — p' tz^, — ^, 1^3 — ?« ^' ?" "'^'^ <^'^ 

 Winkel T' und T" Theile zweier rechtwinkeliger sphii- 

 rischer Dreiecke sind, in welchen die Hypothenusen 

 gleich Ti:^ — p' t:^ — P" sind und deren gemeiusame 

 Seite TC, — ^0 einen rechten Winkel mit den anderen 

 beiden Seiten 9' und 9" macht. Die Winkel am Pol in 

 diesen zwei spharischen Drciecken bezeichen wir mit 

 0/ und co"; dieselben entsprechen auf dem Ellipsoid 

 den Langenunterschieden X' und X" und wir setzeu 



1) Iicgt'iHlrc ; Air'moires de l'Académie pr. sem. ISOG und 

 Traité des fonctions ellipt.; Hausen; Geodât. Untersuchungen. 



© 



= <P 



■ cp j = 6) 



Zur Bestimmung der reducirten Breite ^, wenn die 

 geographische Breite B gegebeu ist, und umgekehrt, 

 hat man bekanntlich die Formel 



tang[i = V\ — e- . tangB. 



Entwickelt man in den Formein (1) und (2) die Qua- 

 dratwurzeln nach dem Binomsatze von Newton und 

 integrirt von 9' bis 9',' so erhâlt man Reihen, in wel- 

 chen die ersten Glieder gleich «9 und « sind, und die 

 andern Glieder gerade Potenzen der Excentricitat ent- 

 halten. — Die auf solche Weise umgeformten Gleichun- 

 gen (1) und (2) dienen zur Berechnung von 9 und X 

 ini Falle die Lange der kiirzesten Linie s gegeben ist. — 

 Dièse zwei Gleichungen und sechs weitere, welche aus 

 den beiden spharischen Dreiecken erhalten werden, bil- 

 den die vollstiiudige Théorie der Auflôsung der direc- 

 ten geodatischen Aufgabe, welche den Fall in sich be- 

 greift wenn Breite und Azimuth im Anfangspuukte ei- 

 ner kurzesten Linie sowie deren Lange gegeben sind 

 und die Breite und das Azimuth im Endpunkte und 

 der Langenunterschied beider Punkte gesucht wer- 

 den. — Die Formein zur Berechnung von 9 und u — X 

 sind gegeben von Legendre in der oben genaunten 

 Abhandlung von Jakobi im 53. Bande von Crelle's 

 Journal und von Hausen in seinen geodatischen Un- 

 tersuchunge)!. 



In der (jeodiisie wird ausser dieser direkten Aufgabe 

 auch das umgckehrte Problem bebandelt — aus den 

 gegebenen Breiten und dera Lilngenunterschiede der 



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