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Bulletin de l'/tcadéinie Inipëriale 



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Den Coefficienteu ao*"'liefert dièses Verfahren nicht, 

 allein derselbe wird bekanntlich durcli das aritlimetisch- 

 geometrisclie Mittel zwischeii V\ -+-q und y 1 — q 

 erhalteu. Man hat iiamlicli: 



(1) 



1 



m(V\-t-q,Vl—q) 



Ferner ist: 



a, 



(») „ ("—2) 



qa.^ 



(") 



woraus sicli, wenn a.'^' und a.*°' berechnet sind, a,,''' 

 und «ù*''' ergeben. Die Coefficienteu aS^> und a^''' kôn- 

 nen iibrigeus, falls man sie niclit direct berechnen 

 will, mit Hilfe der bekannten Hanson'schen Recur- 

 sionsgleichungen liergeleitet werden. 



Zum Schluss will icli uoch kurz eines Verfahrens 

 erwahuen, welches von Hrn. Backlund') augegeben 

 worden ist und sicli durcli grossere Allgemeinlieit aus- 

 zeiclinet. Die Anwendung desselben ist besonders daun 

 zu empfelilen, wenn in dem Ausdrucke 



^- = a, a 



a„ cos 2(0 



«3 cos 3m 



die Coefficienteu a^ und a^ nahe von derselben Ord- 

 nung, dagegen «g und die folgcnden Coefficienten 

 gegen a^ und a„ kleiu sind. Da in der citirten Sclirift 

 aile Vorscliriften und numerischen Hilfsmittel beliufs 

 bequeuier Anwendung gegeben sind, so gehe ich nicbt 

 nâher darauf ein. 



Berefliiuing der partiellen Anomalie ans der excentrisriien. 

 Eleuieuteuweclisel. 



Bevor ich dazu iibergehe, die vorgesclilagene Mé- 

 thode durcli ein ausfiihrliches numerisches Beispiel zu 

 illnstriren, soll noch in Kiirze besprochen werden, in 

 welcher Weise die gewonnenon Storungsausdrùcke zu 

 verwertlien sind. Da dieselbon als Cosiuusreilien nach 

 der partiellen Anomalie aiiftreten, so ist erforderlich, 

 um ihre einem bestimmten Moment entsproclienden 

 numerischen Werthe zu ermitteln, die partielle Ano- 

 malie in bequemer "W^eise ans der Zeit oder dor ex- 

 centrischen Anomalie des gestOrten Planeten berechnen 

 zu kOnnen. Der Zusammenhang zwischen letzterer 



und der partiellen Anomalie war in den vier Theilen 



7) Zm- Eutwickeluug der npgativen, ungeraden Potenzen iler 

 <4uadratwuizel der Kiiiiction 1 — 'IriU-i-f^. Bulletin de l'Académie 

 de St.-Péteisbûurg, Tome V. 



der Bahn ausgedriickt durcli: 



I und IV: t^±T 



II und III: e = TCzpT 



wo T, wenn man die Coefficienten in Bogenminuten 

 ansetzt, durch die Reihe 



T = f(w,) = 276i;i 



— 2708,6 cosu, 



— 61,7 cos 2o), 

 - -•- 8,6 cos 3u, 



-»- 0,6 cos 4(0, 



reprjisentirt ist. Es entsteht somit die Aufgabe, aus 

 der Gleichung 



fiir ein gegebenes t das dazugehôrige (o, zu finden. 

 Theoretiscli wird dieselbe durch eine élégante, von 

 Prof. Schlomilch**) herriihrende Umkehrungsformel 

 gelost. Setzt man 



o, 



<]>(£) 



^0 darf, so lange e zwischen den Grenzen und -|-, 



0), zwischen und tc enthalten ist, fiir t};(e) die Form 

 angenommen werden: 



4» (e) = 2e -»- C'i sin 2e 



62 sin 4e 



Cj sin 6s 



Die Entwickeluugscoefficienten miissen daun aus der 

 Gleichung: 



C' 



cos 2W6.rf(0| 



bestimmt werden. Da cose aber eine bekannte Function 

 von G), ist, so lassen sicli cos 2c, cos 4e, etc. ebenfalls 

 als Functionen von (.), bestimmen, deren Intégration 

 dann nichts mehr im Wege steht. Allein man gelangt 

 auf diesem "Wege nicht zu einem practisch brauchbaren 

 Resultate. Es ist deshalb vortheilhafter, auf die ur- 

 spriingliclien Substitutionsformeln, mittelst welcher die 

 partiellen Anomalien eingefuhrt wnrden, zu recurriren. 

 Aus ihnen ergiebt sich sofort folgendes Formelsystem, 



8) Die allgemeine Umkehrung gegebener Functionen, Halle 1849. 



