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des Sciences de Saint - Pétersbourgr. 



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équilatère et que les droites M, N sont parallèles à 

 ses asymptotes. 



Deux des points fondamentaux du faisceau de co- 

 uiques sont à Tinlini. Nous pouvons construire les tan- 

 gentes en ces points aux coniques de ce faisceau très- 

 aisément; elles sont donc parallèles aux asymptotes de 

 la conique K, et elles sont par conséquent à angle droit, 

 ou en d'autres termes, ce faisceau de coniques con- 

 siste en d'hyperboles équilatères et en trois couples de 

 droites. 



22. Quand la conique K est une hyperbole géné- 

 rale et l'une des droites 31, N est à l'infini, le faisceau 

 de coniques consiste en d'hyperboles, parce que ce 

 faisceau a deux points fondamentaux à l'infini. 



Il est clair que nous obtenons le même faisceau de 

 coniques, quand nous considérons deux droites fixes 

 parallèles aux asymptotes de K comme le deuxième 

 système de droites fixes. 



23. Supposons que la conique fondamentale /i" soit 

 une parabole et qu'une des droites M, N soit l'un de 

 ses diamètres. 



Dans ce cas, deux sommets voisins du parallélo- 

 gramme, circonscrit uba^ 6, , se confondent, et nous ob- 

 tenons une seule parabole dans le faisceau, c'est-à-dire 

 la parabole fondamentale K, parce que la droite ou 

 us coïncide avec M ou N (art. 16). 



Les autres coniques du faisceau sont les hyperboles, 

 parce qu'elles ont un point fondamental à l'infini et 

 leurs tangentes en ce point sont distinctes. 



Nous voyons ainsi que dans un faisceau de coniques 

 qui sont d'hyperboles, il y a une seule parabole. 



24. Supposons que l'une des droites M, N touche 

 la conique K en un point a et que le deuxième système 

 de droites coïncide avec elle, pendant que le troisième 

 système sont les droites passant par le point a. 



Il est clair que le troisième système de droites est 

 imaginaire, quand la deuxième droite du premier sys- 

 tème rencontre la conique K en des points imaginaires. 



Quand les droites M, N occupent ladite position 

 vers la conique K, les coniques du faisceau dérivé se 

 touchent en le point a. 



25. (Considérons encore le cas, quand la droite M 

 touche la conique K en un point a et la seconde droite 

 N passe par ce point. 



Puisque toutes les coniques du faisceau passent par 

 les points d'intersection des droites M, N avec K et 



trois de ces points deviennent infiniment voisins, il 

 s'ensuit que toutes coniques du faisceau ont en a un 

 contact du second degré. 



Dans ce cas et dans le cas précédent il y a deux 

 paraboles parmi les coniques du faisceau, ce qui ré- 

 sulte de parallélogramme circonscrit à K. 



26. Jusqu'à présent nous avons transfoi'mé les droi- 

 tes qui passent par le point de rencontre s des droi- 

 tes M, N par rapport à ces droites et par rapport à 

 la conique K. 



Quand nous transformons les droites fixes 31, N, 

 que nous considérons comme conjuguées, par rapport 

 au couple de droites 0, 0,, nous obtenons un autre 

 système de coniques (art. 11), qui forment un réseau, 

 parce qu'elles touchent quatre droites tangentes à la 

 conique K en ses points d'intersection avec les droites 

 M, N. 



Il est évident que, quand les droites fondamentales 

 de la figure restent fixes, nous obtenons un faisceau de 

 coniques, et quand les droites fondamentales deviennent 

 variables pendant que les droites qui doivent être trans- 

 formées restent fixes, la figure dérivée est un réseau 

 de coniques. 



Nous disons que ce faisceau et ce réseau de coniques 

 sont conjugués. 



27. Les sommets du quadrilatère complet qui déter- 

 mine le réseau de coniques conjugué du faisceau, donné 

 par quatre points, se trouvent, comme on sait, deux 

 à deux sur les jonctions des points diagonaux du qua- 

 drangle complet déterminé par les points fondamen- 

 taux du faisceau. 



Par cette raison, il n'est pas nécessaire de tracer 

 la conique K; il faut seulement prendre un point ar- 

 bitraire sur l'une des dites jonctions et mener les droi- 

 tes par ce point et par les points fondamentaux corres- 

 pondants; les deux autres sont ainsi déterminées et 

 par conséquent aussi le réseau de coniques. 



Nous voyons que le point pris à volonté sur la dite 

 jonction, dont nous venons de parler, parcourt cette 

 jonction. Il suit de là que nous obtenons une infinité 

 de réseaux, ou en d'autres termes que un faisceau de 

 coniques a une infinité simple de réseaux conjugués de 

 coniques, et vice versa. 



Deux de ces systèmes conjugués de coniques ont une 

 conique commune, c'est-à-dire la conique que nous 

 avons appelée fondamentale. 



