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Bulletin de l'/%cadëinie Impériale 



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17. Considérons un parallélogramme circonscrit à la 

 conique K de telle manière que ses côtés soient paral- 

 lèles aux droites M, N. Désignons deux de ces som- 

 mets opposés par n, «, et les deux autres par b, h^. 



Les sommets «, a, offrent le même point à l'infini 

 de la courbe (G), parce qu'ils déterminent la droite de 

 l'infini C" et leurs droites polaires, étant parallèles, 

 rencontrent donc la droite de l'infini en le point de 

 contact. 



De là suit que les droites as, a^s se transforment en 

 une conique (C) qui touche la droite de l'infini, ou 

 en d'autres termes, la courbe (C) est une parabole. 



Puisque le second couple des sommets ft, b^ offre une 

 pareille courbe, nous voyons que dans un faisceau de 

 coniques, donné par quatre points fondamentaux, exis- 

 tent an plus deux paraboles. 



Les directions des axes de ces deux paraboles sont 

 déterminées par les droites polaires du point a nu «, 

 et du point h ou J, , qui sont parallèles aux diagonales 

 du pai'allélogramme circonscrit. D'où il suit que ces 

 axes sont perpendiculaires quand les diagonales de ce 

 parallélogramme font un angle droit. 



18. Quand la droite polaire d'un point o rencontre 

 la droite C, dérivée de ce point, eu le point de l'infini, 

 ce point est donc le point de contact de la droite G 

 avec la conique (C). 



Dans ce cas, nous obtenons deux triangles semblab- 

 les ayant le sommet o et deux côtés, qui touchent la 

 conique K, en commun et les autres deux côtés paral- 

 lèles. 



Quand ces deux triangles se meuvent dans le plan, 

 le sommet o décrit deux coniques L, L, dont chacune 

 touche doublement la conique K. 



L'une de ces coniques passe par les points «, a^ diait 

 nous venons de parler, et les droites as, a^s la touchent 

 en ces points. La seconde conique passe par b, ?;, et 

 touche les droites sb, sb^ en fc, &,. 



Chacune de ces coniques est donc donnée par deux 

 tangentes et par ses points de contact; il nous reste à 

 déterminer encore un point de chaque coni(iue, ce qui 

 est très facile. 



La droite qui passe par le point s rencontre l'une 

 de ces coniques L, L^ en deux points réels ou imagi- 

 naires, qui offrent de même deux points réels ou ima- 

 ginaires à l'infini sur la conique dérivée. 



Les droites as. a.s tangentes à L menées du point 



s fournissent une parabole, parce que leurs points 

 d'intersection avec L deviennent infiniment voisins et, 

 par conséquent, de même les points de l'infini de la 

 conique dérivée. 



Quand la droite rencontre les deux coniques L, 

 L, en des points imaginaires, alors sa droite conjuguée 

 0, le fait aussi. 



De là suit que les droites qui rencontrent les co- 

 niques L, L, en des points réels se transforment en hy- 

 perboles et les autres en ellipses. 



Nous pouvons donc énoncer ce théorème bien connu: 



Dans un faisceau de coniques, donné par quatre points 

 fondamentaux, il p a un groupe d'hyperboles et un groupe 

 d'ellipses, ces deux groupes étant séparés par deux pa- 

 raboles. Trois coniques de ce faisceau se décomposent en 

 trois couples de droites qui sont les côtés opposés du qua- 

 drançile conix)let, déterminé par les points fondamentaux. 



19. Cette génération d'un faisceau de coniques est 

 très importante, parce que nous pouvons ainsi con- 

 struir très aisément les faisceaux de coniques donnés 

 par quatre points fondamentaux réels ou imaginaires, 

 ou par deux points réels et par deux points imaginaires. 



20. Une droite qui rencontre la conique L en deux 

 points réels se transforme en une hyperbole et les droi- 

 tes polaires de ces points de rencontre ont les mêmes 

 directions comme les asymptotes de la hyperbole déri- 

 vée, parce qu'elles contiennent leurs points de l'infini. 



Les points d'intersection de la droite avec la co- 

 nique L étant situées sur une droite, passant par le 

 point s, leurs droites polaires se rencontrent donc sur 

 la droite polaire de .s par rapport à la conique K. 



Quand ces droites polaires sont perpendiculaires, 

 leur point de rencontre se trouve donc sur la circon- 

 férence d'un cercle, qui est le lieu des sommets des 

 angles droits circonscrits à la conique polaire L' de L 

 par rapport à la conique K. 



Les points d'intersection de cette circonférence avec 

 la droite polaire du point s déterminent deux droites 

 conjuguées 0, Oj qui se transforment en une conique, 

 dont les asymptotes sont à angle droit, ou en d'autres 

 termes, la conique dérivée (C) est une hyperbole 

 équilatèro. 



De là suit que dans un faisceau de coniques, donné 

 par quatre points fondamentaux, il y a une seule hy- 

 perbole équilatère. 



21. Supposons que la conique K est une hyperbole 



