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des Sciences de Saint -Pétersbourg. 



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Quand ces deux coniques K^ (C) se rencontrent en 

 quatre points réels, le problème, de trouver les droites 

 M,N, est donc résolu, parce que chacun de trois cou- 

 ples de côtés opposés du quadrangle complet nmi^nrh 

 ou K, {€) peut être considéré comme les droites de- 

 mandées. 



La construction des coniques du faisceau devient 

 plus compliquée, quand les coniques A', (C) se rencon- 

 trent eu des points imaginaires. 



Dans l'article G, nous avons vu que la droite 

 rencontre K en deux points et que les tangentes me- 

 nées en ces points à K touchent aussi la conique dé- 

 rivée (C). 



Menons les tangentes homologues communes aux 

 coniques K,{C); ces droites se coupent en un point u. 

 La droite polaire par rapport à K est et la droite 

 polaire par rapport à (C) est 0'; les droites C, 0' se 

 rencontrent en s. 



Il nous s'agit encore de déterminer les droites Jlf, N. 

 Pour cet effet, faisons passer une droite U par le point 

 M, qui rencontre chacune des coniques données en 

 deux points réels qui se correspondent deux à deux 

 de telle manière que, l'un étant pris sur (C), l'autre 

 se trouve sur K. 



Les tangentes menées en ces points aux coniques 

 K, (C) déterminent un quadrilatère complet. Les deux 

 côtés qui touchent l'une des coniques données se cou- 

 pent en un point de la droite ou 0'. Les tangentes 

 menées en deux points correspondants se rencontrent 

 en un point qui appartient à une des droites M, N. 

 Le second couple de telles tangentes fournit le point 

 de la même droite M ou N, qui passe par le point s. 

 Les autres deux couples des côtés du quadrilatère 

 offrent deux sommets qui déterminent la seconde des 

 droites 31, N. 



1 5. Examinons maintenant les coniques décomposées 

 du faisceau, qui résultent de positions singulières des 

 droites du faisceau (s). 



Pour cet effet, rappelons-nous la propriété des points 

 s, t, u de l'article 9, qu'ils forment un triangle polaire. 

 De là suit que la droite st est la polaire du point u. 

 Considérons cette droite comme qui doit être trans- 

 formée en une conique. 



Puisque les droites mn, m^n^ passent par le point 

 M, leurs pôles se trouvent sur la droite st. En construi- 

 sant les droites correspondant à ces points, qui sont les 



tangentes de la conique dérivée (C), nous trouvons que 

 ces tangentes se confondent avec les droites polaires de 

 ces points; leurs points de contact sont donc indéter- 

 minés. Par conséquent la conique (C) touche les droites 

 mn, w,Wi dans toute leur étendue. 



De là suit que les droites mn, m^n^ forment un 

 couple de droites, en lesquelles se décompose la conique 

 dérivée de la droite si. 



Nous pouvons dériver la même conique de tangen- 

 tes menées du point u à K. De plus, nous obtenons les 

 droites M, N comme la conique dérivée de tangentes 

 issues du point s à la conique K. Ces tangentes sont 

 les droites conjuguées 0, 0^. 



Quand la droite passe par le point u, elle est la 

 polaire du point t, la conique dérivée de cette droite 

 se décompose en les droites mn^, m^n, ce que nous ob- 

 tenons par un raisonnement semblable au précédent. 



Eu réuinissant tous ces résultats, nous obtenons le 

 théorème suivant: 



Les droites qui passent par les points diagonaux dii 

 quadrangle complet mm^ mn^ , déterminé par les droi- 

 tes fondamentedes M, N et par la conique K, et puis 

 les tangentes menées du point de rencontre s des droites 

 M, N d la conique K se transforment en trois coniques, 

 dont chacune se décompose en les côtés opposés de ce 

 quadrangle. 



16. Considérons le point d'intersection o de la co- 

 nique E avec une droite quelconque du faisceau (s). 

 Les tangentes menées de ce point à K se confondent 

 en une seule droite et de même les tangentes de la co- 

 nique dérivée (G) coïncident avec cette droite. Il s'en- 

 suit que 



Tous les points de la conique K fournissent cette 

 courbe comme la conique dérivée qui appartient par con- 

 séquent aussi au faisceau de coniques. 



Nous obtenons le môme résultat, quand nous suppo- 

 sons que la droite coïncide avec une des droites fon- 

 damentales M, N; sa droite conjuguée Oj coïncide avec 

 l'autre de ces droites, parce que les tangentes menées 

 d'un point arbitraire de cette droite à K sont aussi les 

 tangentes de la conique (G), et la droite polaire de ce 

 point les rencontre en les points de contact avec la co- 

 nique K. 



Donc 



Les droites fondamentales M, N se transforment en 

 la conique fondamentale K. 



