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Bulletin de r^cadémie Impériale 



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reraent choisie et rencontrant la conique K en les points 

 Toi, m\ qui déterminent la droite M^. A la construction 

 de cette droite il faut seulement d'un de ces points, 

 parce que la droite il/j doit passer par le point s. 



Il est clair que nous pouvons nous servir de cette 

 construction seulement dans le cas, quand la droite N^ 

 rencontre K en deux points réels. 



Quand les points «,, «', coïncident, ou en d'autres 

 termes quand iV, est une tangente de la courbe A', la 

 droite il/j devient aussi une tangente de cette conique, 

 c'est-à-dire la seconde tangente que l'on peut mener 

 du point s à K. 



Dans le cas, que la droite iV, passe par le point t, 

 sa droite conjuguée M-^ coïncide avec elle ainsi que les 

 droites M.\ , iV', coïncident en une droite. 



Nous parlerons plus loin de coniques dérivées de la 

 droite N, qui occupe ces positions singulières vers la 

 conique K et le point t. 



Nous avons vu que les droites ifj , iVj ; Pi , Qx\ R^, 

 Si se rencontrent deux à deux en les points diagonaux 

 du quadrangle complet et trois à trois en ses sommets 

 m, m, w, n; la même chose a lieu quant aux droites 

 M',, N\; P\, Q\; R\, S\ (dans le sens de la droite 

 0' de l'article 3), qui se rencontrent deux à deux en 

 les mêmes points diagonaux s, /, « et trois à trois en 

 quatre points situés sur la conique dérivée (C). 



10. Quand la droite M rencontre la conique K en 

 deux points réels et la droite N en deux points imagi- 

 naires, pendant que la droite coupe la même conique 

 en deux points réels, dans ce cas la droite 0^ rencontre 

 K évidemment en deux points imaginaires, parce que 

 dausle cas contraire les coniques Z, {G) auraient quatre 

 tangentes communes et seulement deux points réels 

 communs. 



Quand les droites M, N rencontrent la conique K 

 en des points imaginaires, les droites 0, Oj la coupent 

 simultanément en des points réels ou imaginaires. 

 Dans le cas que les points sont réels, nous obtenons 

 les points de rencontre /, u des antres systèmes, seule- 

 ment les droites fondamentales sont imaginaires. 



Dans ces deux cas nous devons nous borner à un 

 seul système {M, N), parce que les deux autres sont 

 idéals. 



11. Considérons de nouveau le système de droites 

 M,N; 0,0^. Les droites 0, Oi se transforment par 

 rapport aux droites M, N en une conique (C) qui passe 



par les points d'intersection de ces droites avec K et 

 touche les tangentes menées à la conique K en ses 

 points de rencontre avec les droites 0, 0,. 



En considérant 0, 0^ comme les droites fondamen- 

 tales , les droites M, N se transforment par rapport à 

 0, Oj en une autre conique (F) qui touche les tan- 

 gentes menées aux points m,m^, «,'»,, à K et passe 

 par les points d'intersection des droites 0. 0, avec la 

 conique K. 



Nous allons appeler les coniques (C), {P} qui occu- 

 pent de telles positions réciproques les coniques con- 

 juguées. 



12. Quand la droite 0, qui passe par le point d'in- 

 tersection s des droites fixes M, N, change de posi- 

 tion, sa conique dérivée (C) change de forme. Toutes 

 les coniques ainsi dérivées passent par les points »»,»«,, 

 n, «1 de rencontre des droites M, N avec K, lesquels 

 points restent fixes. Ces coniques forment donc un 

 faisceau. 



De là suit ce théorème : 



A un faisceau de droites, déterminé par deux droites 

 3Ï, N, correspond un faisceau de coniques, ayant les 

 points d'intersection des droites M, N avec une conique 

 donnée pour points fondamentaux. 



Et réciproquement: 



A une série droite de points, donnée par deux points 

 m, n correspond un réseau de coniques ayant les tan- 

 gentes, menées de points m, n à une conique donnée, 

 pour tangentes fondamentales. 



13. Le faisceau de coniques de l'article précédent 

 contient aussi la conique fondamental K. 



Par les points fondamentaux »î,Wi, «,h, du faisceau 

 de coniques sont donnés aussi les systèmes de droites 

 M,N- P,Q; 72, ^ de l'article 9. 



Dans ce cas, par les points fondamentaux donnés 

 faisons passer une conique K. La construction linéaire 

 des autres coniques du faisceau peut être effectuée 

 par rapport à la conique K et par rapport à un sy- 

 stème arbitraire de droites données par les points 

 fondamentaux. 



14. Les points fondamentaux d'un faisceau de co- 

 niques peuvent être donnés par deux coniques K, (C). 



Dans ce cas, il faut déterminer les droites M,N, à 

 l'aide desquelles nous pouvons construire les autres 

 coniques du faisceau. 



