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des Sciences de Saint -Pétersboiirg. 



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conséquent elles se rencontrent dans toute son éten- 

 due ; seulement le point de contact se trouve aussi sur 

 la droite 0' . 



Il s'ensuit que 



La droite 0' remontre les tangentes, menées à K en 

 les points de rencontre de cette conique avec la droite 

 0, en leurs points de contact avec la conique (O). 



La même chose à lieu quant à la droite 0, conju- 

 guée do 0. 



Nous avons ainsi déterminé toutes les tangentes 

 communes aux coniques K, {(J) avec leurs points de 

 contact. 



8. En réunissant toutes ces propriétés, nous pou- 

 vons pour la génération de la conique (G) énoncer ce 

 théorème: 



Quand un triangle variable mno se meut de telle 

 manière que ses sommets m, n, o parcourent respective- 

 ment trois droites fixes M, N, qui passent par un 

 même point, et ses deux côtés ma, no touchent une co- 

 nique K, alors son troisième côté mn enveloppe une co- 

 nique (C). 



Cette conique passe par les points d'' intersection des 

 droites M, N avec la conique K, et elle est inscrite à 

 un quadrilatère^ dont les côtés sont tangentes à K en 

 les points de rencontre de la droite et de sa conju- 

 quée 0, avec cette conique K. 



Et réciproquement: 



Quand un triangle variable MNO se meut de telle 

 manière que ses trois côtés M, N, pivotent sur trois 

 points fixes m, n, o et ses deux sommets MO, NO par- 

 courent une conique K, le troisième sommet MN décrit 

 une conique (c). 



Cette conique touche les tangentes menées des points 

 m, n à K et passe par les points de contact des tangen- 

 tes issues du point o et de son conjugué o■^ à la conique K. 



9. Supposons que les droites M, N, rencontrent la 

 conique K respectivement en les points m, m'; n, n', et 

 que ces droites se coupent en le point s. 



A une droite arbitraire ilf, , passant par s, corres- 

 pond, comme nous avons vu, une certaine droite iV,. 

 Nous pouvons dériver de ces deux droites une seule 

 conique par rapport au système de droites M, N. Les 

 points d'intersection des droites M,, iV, avec la conique 

 K soient respectivement m,, m',; n^, n\. 



Les points m, m', n, n' forment un quadrangle com- 

 plet, dont les points diagonaux nous allons désigner 



par .s, t, u de telle sorte, que les côtés opposés mm', 

 nn ou M, N se rencontrent au point s, deux autres cô- 

 tés mn', m'n on Q, P se coupent en /, et le troisième 

 couple de côtés mn, m'n ou S, R se rencontre en le 

 point M. 



Considérons, par exemple, le point w, de la droite 

 N\ ; dérivons de ce point la tangente 6' de la conique 

 (C) et examinons si nous obtenions la même tangente, 

 quand nous remplaçons les systèmes de droites ilf, N; 

 M,, Ni par les systèmes R, S; iî, , S,. 



Cette tangente C touche aussi la conique K en w, et 

 rencontre le système de droites R, 8 en les points r', 

 s. Un couple de tangentes menées de ces points à K 

 coïncide avec la droite C. Ces tangentes étant infini- 

 ment voisines, elles se rencontrent en w, qui détermine 

 avec le point u la droite 6',. 



Le second couple de tangentes se rencontre en un 

 point différent de «i , et ce point détermine avec u la 

 droite i?i conjugué de S,. 



En appliquant le même procédé aux points w,, m'j, 

 «'j, nous trouverons que les droites R^, /S, passent par 

 ces points de telle sorte, que la droite S^ passe par m,, 

 w, , et la droite iî, passe par m\, n\ ainsi que ces deux 

 droites se rencontrent en le point u, ce qui résulte du 

 théorème de l'article 3. 



Il faut démontrer que la conique dérivée de système 

 R, S; Ri, Si est identique avec la conique dérivée de 

 système de droites M, N; Mi, iV,. 



La tangente de K en le point «, touche la conique 

 du système (R, S) et la conique du système (ilf, N). 



La même chose a lieu quant aux autres points w,, 

 m\, n'i. Ces deux coniques ont par conséquent quatre 

 tangentes communes, et puisque elles se coupent en les 

 points m, m', n, n', il s'ensuit que ces coniques sont en 

 effet identiques. 



Ce raisonnement nous apprend que nous obtenons la 

 même conique (C), quand nous remplaçons le système 

 (ilf, iV) par le système (P, Q). 



Les six droites Mi, N; Fi, Qi] Ri, Si se rencon- 

 trent deux à deux en trois points s, t, u et trois à trois 

 en quatre poius situés sur la conique K, qui sont les 

 sommets du quadrangle complet dont les points diago- 

 naux se confondent avec les points diagonaux du qua- 

 drangle mm'n'n. 



A l'aide de cette propriété nous pouvons construire 

 très aisément la droite Mi conjuguée de i\',, arbitrai- 



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